QSP Appli

Exercices sans préparations tombés à HEC depuis 2007 en voie ECE et Maths Appliquées. J’ai également ajouté des questions originales sur les nouveaux thèmes (SQL, Chaînes de Markov, Graphes, Equa Diff). Chaque exercice a ses indications et son corrigé.

Thèmes

DISProbabilités discrètes54REDRéduction37MATMatrices et algèbre linéaire35PYPython29CEConvergences et estimations22DENSProbabilités à densité21SSSuites et séries19GRAGraphes16EDOÉquations différentielles14MARChaînes de Markov12INTIntégration9FVRFonctions d'une variable réelle7FNVFonctions de deux variables3SQLBases de données (SQL)3

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171 exercices

HEC 2007

HEC Exercice 1 [DIS]

Voie E · Sans numéro – loi binomiale

Soient $X,Y$ deux variables aléatoires binomiales de paramètres $(n,1/2)$ indépendantes. Calculer $\mathbb{P}(X=Y)$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

Loi de $n-Y$. La variable $n-Y$ prend ses valeurs dans $\llbracket0,n\rrbracket$ et, pour $k\in\llbracket0,n\rrbracket$,

$$\mathbb{P}(n-Y=k)=\mathbb{P}(Y=n-k)=\binom{n}{n-k}\frac{1}{2^{n}}=\binom{n}{k}\frac{1}{2^{n}}.$$

Donc $n-Y$ suit la loi $\mathcal{B}(n,1/2)$.

Somme. Les variables $X$ et $n-Y$ sont indépendantes (lemme des coalitions) et de lois $\mathcal{B}(n,1/2)$, donc $S=X+(n-Y)$ suit la loi $\mathcal{B}(2n,1/2)$. Comme $[X=Y]=[S=n]$ :

$$\mathbb{P}(X=Y)=\mathbb{P}(S=n)=\binom{2n}{n}\frac{1}{2^{2n}}.$$

On peut aussi écrire $\mathbb{P}(X=Y)=\sum_{k=0}^{n}\mathbb{P}(X=k)\mathbb{P}(Y=k)=\frac{1}{4^{n}}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}$, ce qui donne au passage $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}=\binom{2n}{n}$.

$$\boxed{\mathbb{P}(X=Y)=\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}}$$

HEC Exercice 2 [RED]

Voie E · Sans numéro – matrice

On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^4$ dont la matrice dans la base canonique est

$$M=\begin{pmatrix}-1&-1&-1&1\\-1&-1&1&-1\\-1&1&-1&-1\\1&-1&-1&-1\end{pmatrix}.$$

1. Montrer que $f$ est diagonalisable.
2. On admet que les valeurs propres de $M$ sont $2$ et $-2$. Calculer $M^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. La matrice $M$ est symétrique réelle, donc diagonalisable. L'endomorphisme $f$, dont $M$ est la matrice dans la base canonique, est donc diagonalisable.
2. Comme $M$ est symétrique, le coefficient $(i,j)$ de $M^{2}=M\,{}^tM$ s'obtient en multipliant terme à terme la ligne $i$ et la ligne $j$ de $M$ puis en sommant. Chaque ligne a quatre coefficients égaux à $\pm1$ : le coefficient diagonal vaut $4$. Pour deux lignes distinctes, deux produits valent $1$ et deux valent $-1$ ; par exemple pour les lignes $1$ et $2$ : $1+1-1-1=0$. On obtient $$M^{2}=4I_{4}.$$

   Par récurrence, pour tout $p\in\mathbb{N}$, $M^{2p}=4^{p}I_{4}$ et $M^{2p+1}=4^{p}M$.

$$\boxed{M^{n}=2^{n}I_{4}\ \text{si } n \text{ est pair},\qquad M^{n}=2^{n-1}M\ \text{si } n \text{ est impair.}}$$

Ce résultat est cohérent avec les valeurs propres admises : si $MX=\lambda X$ avec $X\neq0$, alors $M^{2}X=\lambda^{2}X=4X$, donc $\lambda\in\{-2,2\}$.

HEC Exercice 3 [FNV]

Voie E · Sans numéro – rendement

Un agriculteur veut améliorer son rendement en utilisant de l'engrais. Le rendement en tonnes par hectare est $f(B,N)=120B-8B^2+4BN-2N^2$, où $B$ est la quantité de semences et $N$ la quantité d'engrais.

1. Déterminer les extrema de $f$ et leur nature.
2. Si une contrainte de budget impose $B+2N=23$, déterminer l'optimum de rendement.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. La fonction $f$ est polynomiale, donc de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur l'ouvert $\mathbb{R}^{2}$, avec $$\partial_{1}f(B,N)=120-16B+4N,\qquad \partial_{2}f(B,N)=4B-4N.$$

   Point critique. $\partial_{2}f=0$ donne $B=N$, puis $\partial_{1}f=0$ donne $120-12B=0$. L'unique point critique est $(10,10)$, et $f(10,10)=1200-800+400-200=600$.

   Hessienne. $\partial^{2}_{1,1}f=-16$, $\partial^{2}_{1,2}f=\partial^{2}_{2,1}f=4$, $\partial^{2}_{2,2}f=-4$, donc

   $$H=\begin{pmatrix}-16&4\\4&-4\end{pmatrix}.$$

   Le réel $\lambda$ est valeur propre de $H$ si et seulement si le système $(-16-\lambda)x+4y=0$, $4x+(-4-\lambda)y=0$ a une solution non nulle. Si $y=0$, la seconde équation donne $x=0$ ; on peut donc supposer $y\neq0$. La seconde équation donne $x=\frac{(4+\lambda)y}{4}$ et la première devient $-(16+\lambda)(4+\lambda)+16=0$, soit

   $$\lambda^{2}+20\lambda+48=0,\qquad \lambda=-10\pm2\sqrt{13}.$$

   Comme $2\sqrt{13}<10$, les deux valeurs propres sont strictement négatives : $f$ admet un maximum local en $(10,10)$.

   C'est un maximum global. Pour $(h,k)\in\mathbb{R}^{2}$, un calcul direct donne

   $$f(10+h,10+k)-600=-8h^{2}+4hk-2k^{2}=-2(k-h)^{2}-6h^{2}\le0.$$
2. Avec $B=23-2N$, on pose $g(N)=f(23-2N,N)$. En développant, $$g(N)=-42N^{2}+588N-1472,\qquad g'(N)=588-84N.$$

   La fonction $g$ croît sur $]-\infty,7]$ puis décroît : elle est maximale en $N=7$, d'où $B=9$, avec $g(7)=f(9,7)=1080-648+252-98=586$.

$$\boxed{\text{Maximum global } f(10,10)=600 ;\ \text{sous la contrainte } B+2N=23,\ \text{optimum } f(9,7)=586.}$$

HEC Exercice 4 [DIS]

Voie E · Sans numéro – événements

Soient $A,B,C$ des événements de même probabilité $p$ tels que $\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=0$.

1. Prouver $p\leq2/3$.
2. $p$ peut-il valoir $2/3$ ?
3. Si $A,B,C$ sont en outre indépendants deux à deux, prouver $p\leq1/2$.
4. $p$ peut-il valoir $1/2$ ?

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. On note $s=\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(A\cap C)+\mathbb{P}(B\cap C)$. Comme $\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=0$, la formule du crible donne $$\mathbb{P}(A\cup B\cup C)=3p-s.$$

   Les événements $A\cap B$, $A\cap C$, $B\cap C$ ont deux à deux pour intersection $A\cap B\cap C$, de probabilité nulle ; la formule du crible appliquée à ces trois événements donne $\mathbb{P}(D)=s$, avec $D=(A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)$. Ainsi

   $$3p=\mathbb{P}(A\cup B\cup C)+\mathbb{P}(D)\le1+1=2,\qquad\text{donc } p\le\frac23.$$
2. Oui : sur $\Omega=\{1,2,3\}$ muni de la probabilité uniforme, les événements $A=\{1,2\}$, $B=\{2,3\}$, $C=\{1,3\}$ ont pour probabilité $\frac23$ et $A\cap B\cap C=\emptyset$.
3. On a $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A\cap C)=p^{2}$ et $\mathbb{P}(A\cap B\cap C)=0$, d'où $$\mathbb{P}\big(A\cap(B\cup C)\big)=\mathbb{P}\big((A\cap B)\cup(A\cap C)\big)=p^{2}+p^{2}-0=2p^{2}.$$

   Or $A\cap(B\cup C)\subset A$, donc $2p^{2}\le p$. Si $p>0$, on obtient $p\le\frac12$, ce qui reste vrai si $p=0$.

4. Oui : sur $\Omega=\{1,2,3,4\}$ muni de la probabilité uniforme, on prend $A=\{1,2\}$, $B=\{1,3\}$, $C=\{2,3\}$. Chacun a pour probabilité $\frac12$, chaque intersection de deux d'entre eux est un singleton, de probabilité $\frac14=\frac12\times\frac12$, et $A\cap B\cap C=\emptyset$.

HEC 2008

HEC Exercice 5 [SS]

Voie E · Sujet 13

Étudier la limite éventuelle de la suite $u_0\in]0,1[$, $u_{n+1}=1+\dfrac{u_n}{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. Déterminer $a,b\in\mathbb{R}$ tels que

$$u_n=1+\frac an+\frac b{n^2}+\frac1{n^2}\varepsilon\!\left(\frac1n\right),\qquad\lim_{n\to+\infty}\varepsilon\!\left(\frac1n\right)=0.$$

Indication 1Indication 2

Corrigé

Encadrement. On a $u_{1}=1+u_{0}\in\,]1,2[$. Si $1\le u_{n}\le2$ pour un $n\geq1$, alors $u_{n+1}=1+\frac{u_{n}}{n+1}\in\left[1,1+\frac{2}{2}\right]=[1,2]$. Donc $1\le u_{n}\le2$ pour tout $n\geq1$.

Limite. Pour $n\geq1$, $0\le u_{n+1}-1=\frac{u_{n}}{n+1}\le\frac{2}{n+1}$. Par encadrement, $(u_{n})$ converge vers $1$.

Coefficient $a$. Pour $n\geq1$, $u_{n}=1+\frac{u_{n-1}}{n}$. Pour $n\geq2$, en remplaçant $u_{n-1}=1+\frac{u_{n-2}}{n-1}$ :

$$u_{n}=1+\frac1n+\frac{u_{n-2}}{n(n-1)}.$$

Coefficient $b$. On pose, pour $n\geq2$, $\varepsilon\!\left(\frac1n\right)=\frac{n\,u_{n-2}}{n-1}-1$. Alors

$$u_{n}=1+\frac1n+\frac1{n^{2}}+\frac1{n^{2}}\varepsilon\!\left(\frac1n\right),$$

et $\varepsilon\!\left(\frac1n\right)\to1\times1-1=0$ puisque $u_{n-2}\to1$ et $\frac{n}{n-1}\to1$.

Unicité. Si $(a',b')$ convient aussi, la différence des deux écritures multipliée par $n$ donne $(a-a')+\frac{b-b'}{n}+\frac1n\left(\varepsilon-\varepsilon'\right)=0$, d'où $a=a'$ en faisant tendre $n$ vers $+\infty$, puis, en multipliant par $n$, $b=b'$.

$$\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_{n}=1,\qquad a=b=1}$$

HEC Exercice 6 [FNV]

Voie E · Sujet 14

Soit $f(x,y)=x^3+y^3-3xy+1$ sur $\mathbb{R}^2$.

1. Calculer les dérivées partielles d'ordres $1$ et $2$.
2. Déterminer les points critiques.
3. $f$ a-t-elle des extrema locaux ?

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. La fonction $f$ est polynomiale, donc de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathbb{R}^{2}$, et $$\partial_{1}f(x,y)=3x^{2}-3y,\qquad \partial_{2}f(x,y)=3y^{2}-3x,$$ $$\partial^{2}_{1,1}f(x,y)=6x,\qquad \partial^{2}_{1,2}f(x,y)=\partial^{2}_{2,1}f(x,y)=-3,\qquad \partial^{2}_{2,2}f(x,y)=6y.$$
2. Les points critiques vérifient $y=x^{2}$ et $x=y^{2}=x^{4}$, soit $x(x^{3}-1)=0$. Comme $t\mapsto t^{3}$ est bijective sur $\mathbb{R}$, $x^{3}=1$ équivaut à $x=1$. Les points critiques sont $(0,0)$ et $(1,1)$.
3. En $(0,0)$. $H=\begin{pmatrix}0&-3\\-3&0\end{pmatrix}$. On vérifie que $H\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=-3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $H\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ : les valeurs propres sont $-3$ et $3$ (une matrice d'ordre $2$ en a au plus deux). Elles sont de signes opposés : pas d'extremum local en $(0,0)$.

   En $(1,1)$. $H=\begin{pmatrix}6&-3\\-3&6\end{pmatrix}$. De même $H\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $H\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=9\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ : les valeurs propres $3$ et $9$ sont strictement positives, $f$ admet un minimum local en $(1,1)$, égal à $f(1,1)=0$.

   Ce minimum n'est pas global : $f(x,0)=x^{3}+1\to-\infty$ quand $x\to-\infty$.

$$\boxed{\text{Seul extremum local : un minimum local en }(1,1),\ f(1,1)=0.}$$

HEC Exercice 7 [MAT,RED]

Voie E · Sujet 15

Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}$.

1. 1. Trouver une relation entre $A^2,A,I$ (matrice identité).
   2. En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse.
2. Calculer les valeurs propres possibles de $A$.
3. $A$ est-elle diagonalisable ?

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. 1. Le calcul donne $$A^{2}=\begin{pmatrix}-2&3&-3\\-3&4&-3\\3&-3&4\end{pmatrix}.$$

      Si $A^{2}=aA+bI$, le coefficient $(1,2)$ impose $a=3$ et le coefficient $(1,1)$ impose $b=-2$. On vérifie que les neuf coefficients conviennent :

      $$A^{2}-3A+2I=0.$$
   2. On en déduit $A\cdot\frac{1}{2}(3I-A)=\frac12(3A-A^{2})=I$. Donc $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac12(3I-A)=\frac12\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix}.$$
2. Le polynôme $X^{2}-3X+2=(X-1)(X-2)$ annule $A$, donc les valeurs propres possibles de $A$ sont $1$ et $2$.
3. $A-I=\begin{pmatrix}-1&1&-1\\-1&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ est de rang $1$ : $1$ est valeur propre et $\dim E_{1}(A)=2$, avec $E_{1}(A)=\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right)$.

   $A-2I=\begin{pmatrix}-2&1&-1\\-1&0&-1\\1&-1&0\end{pmatrix}$ : sa première ligne est la différence des deux autres, qui ne sont pas proportionnelles. Elle est de rang $2$, donc $2$ est valeur propre et $\dim E_{2}(A)=1$, avec $E_{2}(A)=\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right)$.

   La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $2+1=3$ : $A$ est diagonalisable.

HEC Exercice 8 [DENS]

Voie E · Sujet 16

$X,Y$ sont deux variables réelles indépendantes définies sur $(\Omega,\mathcal A,\mathbb{P})$ et de même loi de densité $\varphi(x)=ke^{-|x|}$.

1. Déterminer $k$.
2. Déterminer la fonction de répartition de $X$.
3. Justifier l'existence de $\mathbb{E}(X)$ et $\mathbb{V}(X)$ et les calculer.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. La fonction $\varphi$ est continue sur $\mathbb{R}$. L'intégrale $\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\,dx$ converge et vaut $1$ ; par le changement de variable affine $x=-t$, $\int_{-\infty}^{0}e^{x}\,dx$ converge aussi et vaut $1$. Donc $\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi=2k$. La fonction $\varphi$ est une densité si et seulement si $k\geq0$ et $2k=1$ : $$k=\frac12.$$
2. Pour $x<0$ : $F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{e^{t}}{2}\,dt=\frac{e^{x}}{2}$. Pour $x\geq0$ : $F(x)=\frac12+\int_{0}^{x}\frac{e^{-t}}{2}\,dt=1-\frac{e^{-x}}{2}$. $$F(x)=\frac{e^{x}}{2}\ \text{si } x<0,\qquad F(x)=1-\frac{e^{-x}}{2}\ \text{si } x\geq0.$$
3. Soit $Z$ de loi $\mathcal{E}(1)$ : $Z$ admet une espérance et une variance, avec $\mathbb{E}(Z)=1$ et $\mathbb{E}(Z^{2})=\mathbb{V}(Z)+\mathbb{E}(Z)^{2}=2$. Ainsi $\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}\,dx=1$ et $\int_{0}^{+\infty}x^{2}e^{-x}\,dx=2$, ces intégrales convergeant.

   Par le changement de variable affine $x=-t$, $\int_{-\infty}^{0}x\frac{e^{x}}{2}\,dx$ converge et vaut $-\frac12$, et $\int_{-\infty}^{0}x^{2}\frac{e^{x}}{2}\,dx$ converge et vaut $1$. Les intégrales $\int_{-\infty}^{+\infty}x\varphi(x)\,dx$ et $\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}\varphi(x)\,dx$ convergent donc, avec

   $$\mathbb{E}(X)=-\frac12+\frac12=0,\qquad \mathbb{E}(X^{2})=1+1=2.$$

   Par la formule de Koenig-Huygens, $\mathbb{V}(X)=2-0^{2}=2$.

$$\boxed{k=\tfrac12,\qquad \mathbb{E}(X)=0,\qquad \mathbb{V}(X)=2}$$

HEC Exercice 9 [DENS]

Voie E · Sujet 17

1. Vérifier que $F(x)=\dfrac1{1+e^{-x}}$ possède les propriétés d'une fonction de répartition.
2. Déterminer la loi du maximum de deux variables indépendantes de même loi de fonction de répartition $F$. Généraliser à $n$ variables.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. La fonction $F$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R}$ (quotient de fonctions $\mathcal{C}^{1}$ dont le dénominateur ne s'annule pas), donc continue, et $$F'(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}>0.$$

   Elle est croissante. Comme $e^{-x}\to+\infty$ quand $x\to-\infty$ et $e^{-x}\to0$ quand $x\to+\infty$, $\lim_{-\infty}F=0$ et $\lim_{+\infty}F=1$. La fonction $F$ a donc les propriétés d'une fonction de répartition.

2. Soient $X,Y$ indépendantes de fonction de répartition $F$ et $Z=\max(X,Y)$. Pour $x\in\mathbb{R}$, $[Z\le x]=[X\le x]\cap[Y\le x]$, donc par indépendance $$F_{Z}(x)=F(x)^{2}=\frac{1}{(1+e^{-x})^{2}}.$$

   Plus généralement, pour $X_{1},\ldots,X_{n}$ indépendantes de fonction de répartition $F$ et $M_{n}=\max(X_{1},\ldots,X_{n})$, le même raisonnement donne

   $$F_{M_{n}}(x)=F(x)^{n}=\frac{1}{(1+e^{-x})^{n}}.$$

   Cette fonction est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R}$ : $M_{n}$ est une variable à densité, et en dérivant on obtient une densité

   $$f_{M_{n}}(x)=nF(x)^{n-1}F'(x)=\frac{n\,e^{-x}}{(1+e^{-x})^{n+1}}.$$

HEC Exercice 10 [DENS,CE]

Voie E · Sujet 18

Les variables sont définies sur $(\Omega,\mathcal A,\mathbb{P})$. Soit $a>0$ et $X$ de loi uniforme sur $[0,2a]$.

1. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, soient $X_1,\ldots,X_n$ indépendantes de même loi que $X$, et $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. Déterminer la loi de $M_n$, son espérance et sa variance.
2. En déduire que $U_n=\dfrac{n+1}{2n}M_n$ est un estimateur sans biais de $\mathbb{E}(X)$. Est-il préférable à $V_n=(X_1+\cdots+X_n)/n$ ?

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. Pour $x\in\mathbb{R}$, $[M_{n}\le x]=\bigcap_{i=1}^{n}[X_{i}\le x]$, donc par indépendance $F_{M_{n}}(x)=F_{X}(x)^{n}$ : $$F_{M_{n}}(x)=0\ \text{si } x<0,\qquad F_{M_{n}}(x)=\left(\frac{x}{2a}\right)^{n}\ \text{si } 0\le x\le2a,\qquad F_{M_{n}}(x)=1\ \text{si } x>2a.$$

   Cette fonction est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal{C}^{1}$ sauf éventuellement en $0$ et $2a$ : $M_{n}$ est à densité, et en dérivant,

   $$f_{M_{n}}(x)=\frac{n\,x^{n-1}}{(2a)^{n}}\ \text{si } 0<x<2a,\qquad f_{M_{n}}(x)=0\ \text{sinon}.$$

   Les moments existent par intégration d'une fonction continue sur le segment $[0,2a]$ :

   $$\mathbb{E}(M_{n})=\int_{0}^{2a}\frac{n\,x^{n}}{(2a)^{n}}\,dx=\frac{2an}{n+1},\qquad \mathbb{E}(M_{n}^{2})=\int_{0}^{2a}\frac{n\,x^{n+1}}{(2a)^{n}}\,dx=\frac{4a^{2}n}{n+2}.$$

   Par la formule de Koenig-Huygens,

   $$\mathbb{V}(M_{n})=4a^{2}\left(\frac{n}{n+2}-\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\right)=\frac{4a^{2}n}{(n+1)^{2}(n+2)}.$$
2. Par linéarité, $\mathbb{E}(U_{n})=\frac{n+1}{2n}\cdot\frac{2an}{n+1}=a=\mathbb{E}(X)$ : $U_{n}$ est un estimateur sans biais de $\mathbb{E}(X)$. Son risque quadratique est sa variance : $$\mathbb{V}(U_{n})=\frac{(n+1)^{2}}{4n^{2}}\cdot\frac{4a^{2}n}{(n+1)^{2}(n+2)}=\frac{a^{2}}{n(n+2)}.$$

   L'estimateur $V_{n}$ est aussi sans biais et, par indépendance, $\mathbb{V}(V_{n})=\frac{\mathbb{V}(X)}{n}=\frac{(2a)^{2}}{12n}=\frac{a^{2}}{3n}$.

   Comme $n+2\geq3$, $\mathbb{V}(U_{n})\le\mathbb{V}(V_{n})$, avec égalité seulement pour $n=1$ (et alors $U_{1}=V_{1}=X_{1}$). Pour $n\geq2$, $U_{n}$ est préférable à $V_{n}$ ; son risque est même de l'ordre de $\frac{1}{n^{2}}$ au lieu de $\frac1n$.

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