Oraux HEC Appli

Les exercices des oraux HEC de la voie Mathématiques appliquées, de 2012 à 2025, adaptés au programme en vigueur. Filtrez par thème (plusieurs thèmes se combinent : un exercice doit tous les porter) ou par année. Chaque exercice a ses indications et son corrigé.

Thèmes

Probabilités discrètes36Python33Réduction30Espaces vectoriels27Applications linéaires25Variables à densité23Fonctions d’une variable20Suites20Séries14Intégrales généralisées13Convergences de variables12Estimations10Intégrales8Couples de variables discrètes7Fonctions de deux variables4Chaînes de Markov1Équations différentielles1Systèmes différentiels1

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111 exercices

HEC 2012

HEC Exercice 1 [Fonctions d’une variable, Suites, Séries]

Sujet E3

1. Cours : donner la définition d'une série convergente. Pour quels réels $x>0$ la série de terme général $(\ln x)^n$ converge-t-elle ? Calculer alors sa somme.
2. Pour tout entier $n\ge1$, on définit sur $]0,+\infty[$ $$f_n(x)=(\ln x)^n-x.$$
   1. Calculer $f_n'$ et $f_n''$.
   2. Montrer que $f_1$ ne s'annule jamais.
   3. Justifier l'existence d'un réel $a\in]0,1[$ tel que $f_2(a)=0$.
3. On suppose désormais $n\ge3$, et l'on étudie les solutions de $f_n(x)=0$ sur $]1,+\infty[$. On donne $\ln 2\simeq0{,}693$.
   1. Dresser le tableau de variations de $f_n$ sur $]1,+\infty[$, puis montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet deux racines $u_n<v_n$ sur cet intervalle.
   2. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n$.
4. Montrer que la suite $(u_n)_{n\ge3}$ converge et déterminer sa limite.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. La série $\sum u_{n}$ converge si la suite de ses sommes partielles $\sum_{k=0}^{n}u_{k}$ converge ; sa somme est la limite. La série géométrique $\sum(\ln x)^{n}$ converge si et seulement si $|\ln x|<1$, soit $x\in\left]\frac1e,e\right[$, et alors $$\sum_{n=0}^{+\infty}(\ln x)^{n}=\frac{1}{1-\ln x}.$$
2. 1. $f_{n}'(x)=\frac{n(\ln x)^{n-1}}{x}-1$ et $f_{n}''(x)=\frac{n(\ln x)^{n-2}}{x^{2}}\left(n-1-\ln x\right)$ (pour $n=1$, $f_{1}''(x)=-\frac1{x^{2}}$).
   2. Par concavité du logarithme, $\ln x\le x-1<x$ : $f_{1}(x)=\ln x-x<0$.
   3. $f_{2}$ est continue sur $]0,1]$, $f_{2}(1)=-1<0$ et $f_{2}(x)\to+\infty$ quand $x\to0^{+}$. Il existe donc $b\in\,]0,1[$ tel que $f_{2}(b)>0$, et par le théorème des valeurs intermédiaires sur $[b,1]$, il existe $a\in\,]b,1[$ tel que $f_{2}(a)=0$.
3. 1. Sur $]1,+\infty[$, $f_{n}''$ a le signe de $n-1-\ln x$ : $f_{n}'$ croît sur $\left]1,e^{n-1}\right]$ puis décroît. Or $f_{n}'(x)\to-1$ en $1$ et en $+\infty$ (croissances comparées), et $$f_{n}'(e^{n-1})=n\left(\frac{n-1}{e}\right)^{n-1}-1>0$$

      (pour $n=3$, $3\cdot\frac4{e^{2}}>1$ ; pour $n\geq4$, $\frac{n-1}e>1$). Donc $f_{n}'$ s'annule en exactement deux points $\alpha_{n}<e^{n-1}<\beta_{n}$ : $f_{n}$ décroît sur $]1,\alpha_{n}]$, croît sur $[\alpha_{n},\beta_{n}]$, décroît sur $[\beta_{n},+\infty[$.

      On a $f_{n}(x)\to-1$ en $1$, $f_{n}(x)\to-\infty$ en $+\infty$ (car $(\ln x)^{n}=o(x)$), et $f_{n}(e^{n})=n^{n}-e^{n}>0$ puisque $n>e$, avec $e^{n}>e^{n-1}>\alpha_{n}$. Donc $f_{n}<0$ sur $]1,\alpha_{n}]$, $f_{n}(\beta_{n})\geq f_{n}(e^{n})>0$ si $e^{n}\le\beta_{n}$ et $f_{n}(\beta_{n})>f_{n}(e^{n})>0$ sinon. Par le théorème de la bijection sur $[\alpha_{n},\beta_{n}]$ puis sur $[\beta_{n},+\infty[$, l'équation $f_{n}(x)=0$ a exactement deux racines $u_{n}\in\,]\alpha_{n},\beta_{n}[$ et $v_{n}>\beta_{n}$.

   2. $f_{n}$ est positive sur $[e^{n},\beta_{n}]$ lorsque $e^{n}\le\beta_{n}$, et décroissante positive en $e^{n}$ sinon : dans les deux cas $v_{n}>e^{n}$, donc $\boxed{\lim v_{n}=+\infty.}$
4. De $(\ln u_{n})^{n}=u_{n}>1$, on tire $\ln u_{n}>1$, soit $u_{n}>e$. Soit $\varepsilon>0$ et $y=e^{1+\varepsilon}$. On a $f_{n}(y)=(1+\varepsilon)^{n}-e^{1+\varepsilon}>0$ pour $n$ assez grand, et $y<e^{n-1}<\beta_{n}$. Comme $f_{n}<0$ sur $]1,\alpha_{n}]$, on a $y>\alpha_{n}$ ; $f_{n}$ étant croissante sur $[\alpha_{n},\beta_{n}]$ et positive en $y$, $u_{n}<y$. Ainsi $e<u_{n}<e^{1+\varepsilon}$ pour $n$ assez grand : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_{n}=e.}$$

HEC Exercice 2 [Intégrales, Probabilités discrètes]

Sujet E4

1. Cours : énoncer la formule des probabilités totales.
2. Pour $(n,p)\in\mathbb{N}^2$, on pose $$I_{n,p}=\int_0^1x^n(1-x)^p\,\mathrm{d} x.$$
   1. Calculer $I_{n,0}$.
   2. Exprimer $I_{n,p+1}$ en fonction de $I_{n+1,p}$.
   3. En déduire une expression de $I_{n,p}$ en fonction de $n$ et $p$.

   On dispose de $N$ urnes $U_1,\ldots,U_N$. Pour $k\in\llbracket 1,N\rrbracket$, l'urne $U_k$ contient $k$ boules rouges et $N-k$ boules blanches. On choisit une urne avec une probabilité proportionnelle au nombre de boules rouges qu'elle contient, puis on effectue dans cette urne des tirages successifs avec remise.

3. Pour $k\in\llbracket 1,N\rrbracket$, calculer la probabilité de choisir $U_k$.
4. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. On note $E_n$ l'événement : « parmi les $2n$ premiers tirages, on obtient $n$ boules rouges et $n$ boules blanches », et $R_{2n+1}$ l'événement : « le $(2n+1)$-ième tirage donne une boule rouge ».
   1. Exprimer $\mathbb{P}(E_n)$ sous forme d'une somme.
   2. Donner une expression de $\mathbb{P}(R_{2n+1}\mid E_n)$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. Si $(A_{i})_{i\in I}$ est un système complet d'événements ($I$ fini ou dénombrable) de probabilités non nulles, pour tout événement $B$ : $\mathbb{P}(B)=\sum_{i}\mathbb{P}(A_{i})\mathbb{P}_{A_{i}}(B)$.
2. 1. $I_{n,0}=\int_{0}^{1}x^{n}\,dx=\frac{1}{n+1}$.
   2. Les fonctions $u:x\mapsto\frac{x^{n+1}}{n+1}$ et $v:x\mapsto(1-x)^{p+1}$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[0,1]$, avec $u'(x)=x^{n}$ et $v'(x)=-(p+1)(1-x)^{p}$. Le crochet étant nul : $$I_{n,p+1}=\frac{p+1}{n+1}\,I_{n+1,p}.$$
   3. Par récurrence sur $p$ : $$I_{n,p}=\frac{p}{n+1}\cdot\frac{p-1}{n+2}\cdots\frac{1}{n+p}\,I_{n+p,0}=\boxed{\frac{n!\,p!}{(n+p+1)!}}$$
3. On note encore $U_{k}$ l'événement « on choisit l'urne $U_{k}$ ». $\mathbb{P}(U_{k})=ck$ avec $c\sum_{k=1}^{N}k=1$, donc $\mathbb{P}(U_{k})=\frac{2k}{N(N+1)}$.
4. 1. Sachant $U_{k}$, le nombre de rouges en $2n$ tirages suit la loi $\mathcal{B}\!\left(2n,\frac kN\right)$. Avec le système complet $(U_{1},\ldots,U_{N})$ : $$\mathbb{P}(E_{n})=\sum_{k=1}^{N}\frac{2k}{N(N+1)}\binom{2n}{n}\left(\frac kN\right)^{n}\left(1-\frac kN\right)^{n}.$$
   2. De même, sachant $U_{k}$, $\mathbb{P}_{U_{k}}(E_{n}\cap R_{2n+1})=\binom{2n}{n}\left(\frac kN\right)^{n+1}\left(1-\frac kN\right)^{n}$. Donc $$\mathbb{P}_{E_{n}}(R_{2n+1})=\frac{\mathbb{P}(E_{n}\cap R_{2n+1})}{\mathbb{P}(E_{n})}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{N}k\left(\frac kN\right)^{n+1}\left(1-\frac kN\right)^{n}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{N}k\left(\frac kN\right)^{n}\left(1-\frac kN\right)^{n}}.$$

HEC Exercice 3 [Variables à densité, Estimations]

Sujet E6

Rappel : Le risque quadratique d'un estimateur $T_n$ d'un paramètre $\theta$ est

$$R_\theta(T_n)=\mathbb{E}_\theta\!\left[(T_n-\theta)^2\right].$$

Un estimateur est sans biais lorsque $\mathbb{E}_\theta(T_n)=\theta$.

Soit $\theta>0$ inconnu. Une variable aléatoire $X$, à valeurs dans $[0,\theta]$, admet pour densité

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{2x}{\theta^2},&x\in]0,\theta],\\ 0,&\text{sinon}. \end{cases}$$

1. Cours : rappeler les définitions d'un estimateur sans biais et de son risque quadratique.
2. Calculer $\mathbb{E}(X)$ et $\mathbb{V}(X)$.
3. Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un $n$-échantillon de même loi que $X$, et $$\overline X_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i.$$
   1. Déterminer la fonction de répartition $F$ de $X$.
   2. Tracer l'allure de la courbe représentative de $F$.
4. 1. Déterminer un estimateur $T_n$ de $\theta$, sans biais et de la forme $c\overline X_n$.
   2. Calculer les risques quadratiques de $\overline X_n$ et de $T_n$, considérés comme estimateurs de $\theta$.
5. On pose $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$.
   1. Déterminer la fonction de répartition $G_n$ et une densité $g_n$ de $M_n$.
   2. Calculer $\mathbb{E}(M_n)$, puis en déduire un estimateur sans biais $W_n$ de $\theta$.
   3. Entre $T_n$ et $W_n$, quel estimateur doit-on préférer au regard du risque quadratique ?
6. Soit $\alpha\in]0,1[$.
   1. Établir l'existence de $a,b\in]0,1[$ tels que $$\mathbb{P}(M_n\le a\theta)=\frac{\alpha}{2}, \qquad \mathbb{P}(b\theta\le M_n\le\theta)=\frac{\alpha}{2}.$$
   2. En déduire un intervalle de confiance de $\theta$ au niveau de confiance $1-\alpha$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. Un estimateur $T_{n}$ de $\theta$ est sans biais si $\mathbb{E}_{\theta}(T_{n})=\theta$ pour tout $\theta$ ; son risque quadratique est $\mathbb{E}_{\theta}\left((T_{n}-\theta)^{2}\right)=\mathbb{V}_{\theta}(T_{n})+\left(\mathbb{E}_{\theta}(T_{n})-\theta\right)^{2}$.
2. Les intégrales existent par intégration d'une fonction continue sur un segment : $$\mathbb{E}(X)=\int_{0}^{\theta}\frac{2x^{2}}{\theta^{2}}\,dx=\frac{2\theta}3,\qquad \mathbb{E}(X^{2})=\int_{0}^{\theta}\frac{2x^{3}}{\theta^{2}}\,dx=\frac{\theta^{2}}2,\qquad \mathbb{V}(X)=\frac{\theta^{2}}{18}.$$
3. 1. $F(x)=0$ pour $x<0$, $F(x)=\frac{x^{2}}{\theta^{2}}$ pour $0\le x\le\theta$, $F(x)=1$ pour $x>\theta$.
   2. La courbe est nulle sur $]-\infty,0]$, en arc de parabole croissant de $(0,0)$ à $(\theta,1)$ (convexe, tangente horizontale en $0$), puis constante égale à $1$.
4. 1. $\mathbb{E}(c\overline X_{n})=\frac{2c\theta}3$ : $T_{n}=\frac32\overline X_{n}$ est sans biais.
   2. $\mathbb{V}(\overline X_{n})=\frac{\theta^{2}}{18n}$ et le biais de $\overline X_{n}$ vaut $-\frac\theta3$ : $$R_{\theta}(\overline X_{n})=\frac{\theta^{2}}{18n}+\frac{\theta^{2}}{9},\qquad R_{\theta}(T_{n})=\mathbb{V}(T_{n})=\frac94\cdot\frac{\theta^{2}}{18n}=\frac{\theta^{2}}{8n}.$$
5. 1. Par indépendance, $G_{n}(x)=\mathbb{P}(X_{1}\le x)\cdots\mathbb{P}(X_{n}\le x)=F(x)^{n}$, soit $\frac{x^{2n}}{\theta^{2n}}$ sur $[0,\theta]$, $0$ avant, $1$ après. $G_{n}$ est continue, de classe $\mathcal{C}^{1}$ sauf en $\theta$ : en dérivant, $g_{n}(x)=\frac{2nx^{2n-1}}{\theta^{2n}}$ sur $]0,\theta[$, $0$ ailleurs, est une densité de $M_{n}$.
   2. $\mathbb{E}(M_{n})=\int_{0}^{\theta}\frac{2nx^{2n}}{\theta^{2n}}\,dx=\frac{2n}{2n+1}\theta$. Donc $W_{n}=\frac{2n+1}{2n}M_{n}$ est sans biais.
   3. $\mathbb{E}(M_{n}^{2})=\frac{2n}{2n+2}\theta^{2}=\frac{n}{n+1}\theta^{2}$, d'où $\mathbb{V}(M_{n})=\frac{n\theta^{2}}{(n+1)(2n+1)^{2}}$ et $$R_{\theta}(W_{n})=\frac{(2n+1)^{2}}{4n^{2}}\mathbb{V}(M_{n})=\frac{\theta^{2}}{4n(n+1)}\le\frac{\theta^{2}}{8n}=R_{\theta}(T_{n}),$$

      car $2\le n+1$, avec égalité seulement pour $n=1$. On préfère $W_{n}$.

6. 1. $\mathbb{P}(M_{n}\le a\theta)=a^{2n}$ et $\mathbb{P}(b\theta\le M_{n}\le\theta)=1-b^{2n}$. On prend $a=\left(\frac\alpha2\right)^{1/(2n)}$ et $b=\left(1-\frac\alpha2\right)^{1/(2n)}$, qui sont dans $]0,1[$, avec $a<b$.
   2. Alors $\mathbb{P}(a\theta<M_{n}<b\theta)=1-\frac\alpha2-\frac\alpha2=1-\alpha$, et $a\theta<M_{n}<b\theta$ équivaut à $\frac{M_{n}}{b}<\theta<\frac{M_{n}}{a}$ : $$\boxed{\left]\frac{M_{n}}{(1-\alpha/2)^{1/(2n)}},\ \frac{M_{n}}{(\alpha/2)^{1/(2n)}}\right[\ \text{est un intervalle de confiance de } \theta \text{ au niveau } 1-\alpha.}$$

HEC Exercice 4 [Probabilités discrètes, Couples de variables discrètes]

Sujet E7

Une puce effectue des sauts de longueur $1$ dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Chaque saut se fait, avec équiprobabilité, dans l'une des quatre directions portées par les axes. On note $M_n$ sa position après $n$ sauts, et $X_n$, $Y_n$ ses coordonnées. Initialement, $M_0=O$.

1. Cours : donner la définition de l'indépendance de deux variables aléatoires finies.
2. Pour $n\ge1$, on pose $T_n=X_n-X_{n-1}$. Les variables $T_1,\ldots,T_n$ sont supposées indépendantes.
   1. Déterminer la loi de $T_n$, son espérance et sa variance.
   2. Exprimer $X_n$ en fonction de $T_1,\ldots,T_n$.
   3. Calculer $\mathbb{E}(X_n)$.
   4. Calculer $\mathbb{E}(X_n^2)$.
3. On pose $Z_n=OM_n$.
   1. Les variables $X_n$ et $Y_n$ sont-elles indépendantes ?
   2. Montrer que $\mathbb{E}(Z_n)\le\sqrt n$.
4. On note $p_n$ la probabilité que la puce soit revenue en $O$ après $n$ sauts.
   1. Que vaut $p_n$ lorsque $n$ est impair ?
   2. Si $n=2m$, on admet $$\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}^2=\binom{2m}{m}.$$

      Établir

      $$p_{2m}=\binom{2m}{m}^{\!2}\frac1{4^{2m}}.$$

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. Deux variables finies $X,Y$ sont indépendantes si $\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])=\mathbb{P}(X=x)\mathbb{P}(Y=y)$ pour tous $x\in X(\Omega)$, $y\in Y(\Omega)$.
2. 1. Le $n$-ième saut modifie l'abscisse de $+1$ ou $-1$ (probabilité $\frac14$ chacun), ou ne la modifie pas (saut vertical, probabilité $\frac12$). Donc $\mathbb{E}(T_{n})=0$ et $\mathbb{V}(T_{n})=\mathbb{E}(T_{n}^{2})=\frac12$.
   2. Par télescopage, $X_{n}=T_{1}+\cdots+T_{n}$.
   3. $\mathbb{E}(X_{n})=0$.
   4. Par indépendance, $\mathbb{E}(X_{n}^{2})=\mathbb{V}(X_{n})=\sum\mathbb{V}(T_{k})=\frac n2$.
3. 1. Non : $\mathbb{P}([X_{1}=1]\cap[Y_{1}=1])=0$ alors que $\mathbb{P}(X_{1}=1)\mathbb{P}(Y_{1}=1)=\frac1{16}$.
   2. $Z_{n}=\sqrt{X_{n}^{2}+Y_{n}^{2}}$ est finie et, par symétrie, $\mathbb{E}(Y_{n}^{2})=\frac n2$, donc $\mathbb{E}(Z_{n}^{2})=n$. Comme $\mathbb{V}(Z_{n})=\mathbb{E}(Z_{n}^{2})-\mathbb{E}(Z_{n})^{2}\geq0$, $\mathbb{E}(Z_{n})\le\sqrt n$ ($Z_{n}\geq0$).
4. 1. À chaque saut, $X_{n}+Y_{n}$ change de $\pm1$, donc change de parité. Après un nombre impair de sauts, $X_{n}+Y_{n}$ est impair et la puce n'est pas en $O$ : $p_{n}=0$.
   2. Les $4^{2m}$ suites de sauts sont équiprobables. La puce revient en $O$ si et seulement si, pour un certain $k\in\llbracket0,m\rrbracket$, elle fait $k$ sauts à droite, $k$ à gauche, $m-k$ en haut et $m-k$ en bas. Le nombre de telles suites est $$\sum_{k=0}^{m}\frac{(2m)!}{k!\,k!\,(m-k)!\,(m-k)!}=\binom{2m}{m}\sum_{k=0}^{m}\binom mk^{2}=\binom{2m}{m}^{2},$$

      donc $p_{2m}=\binom{2m}{m}^{2}\frac{1}{4^{2m}}$.

HEC Exercice 5 [Espaces vectoriels, Réduction, Applications linéaires]

Sujet E8

Dans une base $\mathcal B=(i,j,k)$ d'un espace vectoriel réel de dimension $3$, on considère la matrice

$$A= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ -1&2&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.$$

On note $I_3$ la matrice identité.

1. Cours : donner la définition de deux matrices semblables.
2. 1. Montrer que $$(2I_3-A)(A^2-2A+2I_3)=0.$$
   2. La matrice $A$ est-elle inversible ?
   3. Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
   4. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
3. Soient $a,b,c\in\mathbb{R}$, non tous nuls, et $$P=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid ax+by+cz=0\}.$$

   On considère

   $$U=(-b,a,0),\qquad V=(0,c,-b),\qquad W=(-c,0,a).$$
   1. Montrer que $\operatorname{Vect}(U,V,W)$ est de dimension $2$.
   2. Déterminer tous les plans $P$ tels que $AP\subset P$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. $A$ et $B$ sont semblables s'il existe $P$ inversible telle que $B=P^{-1}AP$.
2. 1. Le calcul donne $A^{2}=\begin{pmatrix}0&3&1\\-2&3&3\\2&1&1\end{pmatrix}$, $A^{2}-2A+2I_{3}=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$, et $(2I_{3}-A)\begin{pmatrix}0&1&1\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}=0$, car chaque ligne de $2I_{3}-A$ a une somme nulle.
   2. En développant, $-A^{3}+4A^{2}-6A+4I_{3}=0$, donc $A\cdot\frac14\left(A^{2}-4A+6I_{3}\right)=I_{3}$ : $A$ est inversible.
   3. Les valeurs propres sont racines du polynôme annulateur $(2-x)(x^{2}-2x+2)$ ; comme $x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1>0$, $\operatorname{Sp}(A)\subset\{2\}$. On résout $(A-2I_{3})X=0$ : $$\begin{cases}-x+y=0\\-x+z=0\\x-z=0\end{cases}\iff x=y=z.$$

      Donc $\operatorname{Sp}(A)=\{2\}$ et $E_{2}(A)=\operatorname{Vect}\left({}^t(1,1,1)\right)$.

   4. Non : sinon $A$ serait semblable à $2I_{3}$, donc égale à $2I_{3}$.
3. 1. $U,V,W$ appartiennent à $P$ (par exemple $a(-b)+ba=0$). $P$ est le noyau de la forme linéaire non nulle $(x,y,z)\mapsto ax+by+cz$, donc $\dim P=2$ par le théorème du rang. Deux des trois vecteurs ne sont pas colinéaires : si $a\neq0$, $U$ et $W$ ; si $a=0$ et $b\neq0$, $U$ et $V$ ; si $a=b=0$, $V$ et $W$. Donc $\operatorname{Vect}(U,V,W)=P$ est de dimension $2$.
   2. Soit $L=(a\ b\ c)$. Si $LA=\mu L$, alors $LX=0\Rightarrow LAX=\mu LX=0$ : $AP\subset P$. Réciproquement, si $AP\subset P$, soit $X_{0}$ tel que $LX_{0}=1$ ; tout $X$ s'écrit $X=(X-(LX)X_{0})+(LX)X_{0}$ avec $X-(LX)X_{0}\in P$, donc $LAX=(LX)(LAX_{0})$ : $LA=\mu L$ avec $\mu=LAX_{0}$.

      La condition est donc que ${}^tL$ soit un vecteur propre de ${}^tA$. Comme ${}^tA$ annule le même polynôme, sa seule valeur propre possible est $2$, et

      $${}^tA-2I_{3}=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\1&0&0\\0&1&-1\end{pmatrix}:\quad\begin{cases}-a-b+c=0\\a=0\\b-c=0\end{cases}\iff a=0,\ b=c.$$ $$\boxed{\text{Le seul ensemble } P \text{ convenable est } \{(x,y,z) : y+z=0\}.}$$

      On vérifie : $A{}^t(x,y,z)={}^t(x+y,\,-x+2y+z,\,x+z)$, dont la somme des deux dernières coordonnées vaut $2(y+z)$.

HEC Exercice 6 [Fonctions d’une variable, Suites, Intégrales]

Sujet E10

1. Cours : rappeler la définition de la convexité d'une fonction sur un intervalle.
2. Pour $x\in\mathbb{R}$, on pose $$f(x)=\int_0^x\mathrm{e}^{t^2}\,\mathrm{d} t.$$
   1. Justifier que cette intégrale est bien définie.
   2. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal C^2$, puis étudier sa parité et sa convexité.
   3. Étudier les variations de $f$ et tracer l'allure de sa courbe.
3. 1. Montrer que, pour tout $n\ge1$, il existe un unique réel $u_n$ tel que $f(u_n)=1/n$.
   2. Montrer que $(u_n)$ est décroissante et convergente.
   3. Déterminer sa limite.
4. 1. Montrer que, pour $u\in[0,\ln2]$, $$1+u\le\mathrm{e}^u\le1+2u.$$
   2. En déduire qu'il existe $n_0$ tel que, pour $n\ge n_0$, $$\int_0^{u_n}(1+t^2)\,\mathrm{d} t\le\frac1n \le\int_0^{u_n}(1+2t^2)\,\mathrm{d} t.$$
   3. Montrer que $nu_n^3\to0$, puis donner un équivalent de $u_n$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous $x,y\in I$ et $\lambda\in[0,1]$, $f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$.
2. 1. $t\mapsto e^{t^{2}}$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc intégrable sur le segment d'extrémités $0$ et $x$.
   2. $f$ est la primitive nulle en $0$ d'une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ : $f'(x)=e^{x^{2}}$, $f''(x)=2xe^{x^{2}}$, et $f$ est $\mathcal{C}^{2}$. Par le changement de variable $t=-u$, $f(-x)=-f(x)$ : $f$ est impaire. $f''\geq0$ sur $\mathbb{R}_{+}$ et $\le0$ sur $\mathbb{R}_{-}$ : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}_{+}$, concave sur $\mathbb{R}_{-}$, avec un point d'inflexion en $0$.
   3. $f'>0$ : $f$ est strictement croissante. Pour $x\geq0$, $f(x)\geq\int_{0}^{x}1\,dt=x$, donc $f\to+\infty$ en $+\infty$ et, par imparité, $f\to-\infty$ en $-\infty$. La courbe passe par l'origine avec une tangente de pente $1$ et croît de $-\infty$ à $+\infty$.
3. 1. $f$ est continue et strictement croissante de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ : par le théorème de la bijection, $u_{n}=f^{-1}\left(\frac1n\right)$ existe et est unique.
   2. $f^{-1}$ est croissante et $\frac1{n+1}<\frac1n$ : $u_{n+1}<u_{n}$. De plus $u_{n}>0=f^{-1}(0)$. Décroissante et minorée, $(u_{n})$ converge.
   3. Sa limite $\ell$ vérifie, par continuité de $f$, $f(\ell)=\lim\frac1n=0$, donc $\ell=0$.
4. 1. $e^{u}\geq1+u$ par convexité de l'exponentielle (tangente en $0$). La fonction $g(u)=1+2u-e^{u}$ vérifie $g(0)=0$ et $g'(u)=2-e^{u}\geq0$ sur $[0,\ln2]$ : $g\geq0$.
   2. Comme $u_{n}\to0$, il existe $n_{0}$ tel que $u_{n}^{2}\le\ln2$ pour $n\geq n_{0}$. Pour $t\in[0,u_{n}]$, $t^{2}\in[0,\ln2]$ et $1+t^{2}\le e^{t^{2}}\le1+2t^{2}$. En intégrant sur $[0,u_{n}]$ (bornes dans l'ordre croissant) et avec $f(u_{n})=\frac1n$, on obtient l'encadrement.
   3. Il s'écrit $u_{n}+\frac{u_{n}^{3}}3\le\frac1n\le u_{n}+\frac{2u_{n}^{3}}3$. En particulier $nu_{n}\le1$, donc $0\le nu_{n}^{3}=(nu_{n})u_{n}^{2}\le u_{n}^{2}\to0$. En multipliant par $n$ : $1-\frac23nu_{n}^{3}\le nu_{n}\le1$, donc $nu_{n}\to1$ : $$\boxed{u_{n}\sim\frac1n.}$$

HEC Exercice 7 [Probabilités discrètes, Couples de variables discrètes]

Sujet E11

Soient $p\in]0,1[$, $q=1-p$ et $\lambda>0$. On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$, que $Y$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$, et que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, la loi conditionnelle de $Y$ sachant $[X=n]$ est la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$.

1. Cours : rappeler la loi d'un couple de variables aléatoires discrètes, les lois marginales et les lois conditionnelles.
2. Déterminer la loi du couple $(X,Y)$.
3. Montrer que $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda p$.
4. Déterminer la loi de $X-Y$.
5. 1. Montrer que $Y$ et $X-Y$ sont indépendantes.
   2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $X$ et $Y$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. La loi de $(X,Y)$ est la donnée des $\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])$. Les lois marginales s'en déduisent par $\mathbb{P}(X=x)=\sum_{y}\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])$ (système complet $([Y=y])_{y}$). La loi conditionnelle de $Y$ sachant $[X=x]$ (avec $\mathbb{P}(X=x)>0$) est $y\mapsto\mathbb{P}_{[X=x]}(Y=y)=\frac{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])}{\mathbb{P}(X=x)}$.
2. Pour $0\le k\le n$, $\mathbb{P}([X=n]\cap[Y=k])=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!}\binom nkp^{k}q^{n-k}$, et $0$ si $k>n$.
3. Avec le système complet $([X=n])_{n\in\mathbb{N}}$ : $$\mathbb{P}(Y=k)=\sum_{n\geq k}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{k!\,(n-k)!}p^{k}q^{n-k}=e^{-\lambda}\frac{(\lambda p)^{k}}{k!}\sum_{j\geq0}\frac{(\lambda q)^{j}}{j!}=e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^{k}}{k!}.$$
4. De même, $\mathbb{P}([Y=k]\cap[X-Y=j])=\mathbb{P}([X=k+j]\cap[Y=k])=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k+j}}{k!\,j!}p^{k}q^{j}$, et en sommant sur $k$ : $X-Y\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda q)$.
5. 1. Le calcul précédent donne $\mathbb{P}([Y=k]\cap[X-Y=j])=e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^{k}}{k!}\cdot e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^{j}}{j!}=\mathbb{P}(Y=k)\mathbb{P}(X-Y=j)$ : $Y$ et $X-Y$ sont indépendantes.
   2. $\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,Y)+\operatorname{Cov}(X-Y,Y)=\mathbb{V}(Y)=\lambda p$, donc $$\rho(X,Y)=\frac{\lambda p}{\sqrt{\lambda\cdot\lambda p}}=\boxed{\sqrt p.}$$

HEC Exercice 8 [Espaces vectoriels, Réduction, Applications linéaires]

Sujet E21

Soit $\alpha\in\mathbb{R}^*$. On définit

$$f_1(x)=\mathrm{e}^{\alpha x},\qquad f_2(x)=x\mathrm{e}^{\alpha x},$$

et $E=\operatorname{Vect}(f_1,f_2)$.

1. Cours : rappeler la définition et les propriétés des fonctions de classe $\mathcal C^p$.
2. 1. Montrer que $\mathcal B=(f_1,f_2)$ est une base de $E$.
   2. Montrer que la dérivation stabilise $E$, puis écrire dans $\mathcal B$ la matrice $$A=\begin{pmatrix}\alpha&1\\0&\alpha\end{pmatrix}.$$
   3. La matrice $A$ est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ?
3. Calculer $A^{-1}$, puis déterminer toutes les primitives sur $\mathbb{R}$ de $$x\longmapsto(2x-3)\mathrm{e}^{\alpha x}.$$
4. 1. Calculer $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
   2. En déduire la dérivée $n$-ième de la fonction précédente.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. Une fonction est de classe $\mathcal{C}^{p}$ sur un intervalle si elle est $p$ fois dérivable et si sa dérivée $p$-ième est continue. Les sommes, produits et composées de fonctions $\mathcal{C}^{p}$ sont $\mathcal{C}^{p}$.
2. 1. $(f_{1},f_{2})$ engendre $E$. Si $af_{1}+bf_{2}=0$, alors $a+bx=0$ pour tout $x$ (en divisant par $e^{\alpha x}$), donc $a=b=0$ : c'est une base.
   2. $f_{1}'=\alpha f_{1}$ et $f_{2}'=f_{1}+\alpha f_{2}$ : la dérivée d'un élément de $E$ est dans $E$, et la matrice de la dérivation $d$ dans $\mathcal{B}$ est $A=\begin{pmatrix}\alpha&1\\0&\alpha\end{pmatrix}$.
   3. $A$ est triangulaire à coefficients diagonaux non nuls : elle est inversible. Sa seule valeur propre est $\alpha$ ; si elle était diagonalisable, on aurait $A=\alpha I_{2}$, ce qui est faux.
3. $A^{-1}=\frac{1}{\alpha^{2}}\begin{pmatrix}\alpha&-1\\0&\alpha\end{pmatrix}$. La fonction $g:x\mapsto(2x-3)e^{\alpha x}=-3f_{1}+2f_{2}$ a pour coordonnées ${}^t(-3,2)$. Comme $d$ est bijective sur $E$, l'unique primitive de $g$ dans $E$ a pour coordonnées $$A^{-1}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac3\alpha-\frac2{\alpha^{2}}\\[1mm]\frac2\alpha\end{pmatrix}.$$

   Les primitives de $g$ sur $\mathbb{R}$ diffèrent d'une constante :

   $$\boxed{x\longmapsto\left(\frac{2x}\alpha-\frac3\alpha-\frac2{\alpha^{2}}\right)e^{\alpha x}+C,\qquad C\in\mathbb{R}.}$$
4. 1. $A=\alpha I_{2}+N$ avec $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, $N^{2}=0$, et $I_{2}$, $N$ commutent. Par la formule du binôme : $$A^{n}=\alpha^{n}I_{2}+n\alpha^{n-1}N=\begin{pmatrix}\alpha^{n}&n\alpha^{n-1}\\0&\alpha^{n}\end{pmatrix}.$$
   2. $g^{(n)}$ a pour coordonnées $A^{n}{}^t(-3,2)={}^t\!\left(-3\alpha^{n}+2n\alpha^{n-1},\ 2\alpha^{n}\right)$ : $$\boxed{g^{(n)}(x)=\left(2\alpha^{n}x+2n\alpha^{n-1}-3\alpha^{n}\right)e^{\alpha x}.}$$

HEC 2013

HEC Exercice 10 [Probabilités discrètes]

Sujet E20

Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre $1/2$. Pour $n\ge1$, on pose

$$W_n=\sum_{k=1}^n kX_k, \qquad s_n=\frac{n(n+1)}2.$$

1. Cours : rappeler le schéma binomial.
2. 1. Calculer $\mathbb{E}(W_n)$ et $\mathbb{V}(W_n)$.
   2. Calculer $\mathbb{P}(W_n=0)$ et $\mathbb{P}(W_n=s_n)$.
   3. Calculer, selon les valeurs de $n$, $\mathbb{P}(W_n=3)$.
3. Montrer que, pour tout $k\in\llbracket 0,s_n\rrbracket$, $$\mathbb{P}(W_n=k)=\mathbb{P}(W_n=s_n-k).$$
4. 1. Déterminer, pour $j\in\llbracket 0,s_n\rrbracket$, la loi conditionnelle de $W_{n+1}$ sachant $[W_n=j]$.
   2. En déduire $$\mathbb{P}(W_{n+1}=k)= \begin{cases} \dfrac12\mathbb{P}(W_n=k),&k\le n,\\[1mm] \dfrac12\mathbb{P}(W_n=k)+\dfrac12\mathbb{P}(W_n=k-n-1),&n+1\le k\le s_n,\\[1mm] \dfrac12\mathbb{P}(W_n=k-n-1),&s_n+1\le k\le s_{n+1}. \end{cases}$$

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ; le nombre de succès suit la loi $\mathcal{B}(n,p)$.
2. 1. Par linéarité, $\mathbb{E}(W_{n})=\frac12\sum_{k=1}^{n}k=\frac{s_{n}}2$. Par indépendance, $\mathbb{V}(W_{n})=\frac14\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}$.
   2. $[W_{n}=0]=[X_{1}=0]\cap\cdots\cap[X_{n}=0]$ et $[W_{n}=s_{n}]=[X_{1}=1]\cap\cdots\cap[X_{n}=1]$ : ces probabilités valent $2^{-n}$.
   3. $W_{n}$ est la somme des $k$ tels que $X_{k}=1$. Les parties de $\llbracket1,n\rrbracket$ de somme $3$ sont $\{3\}$ et $\{1,2\}$, et chaque partie est obtenue avec probabilité $2^{-n}$ : $$\mathbb{P}(W_{1}=3)=0,\qquad\mathbb{P}(W_{2}=3)=\frac14,\qquad\mathbb{P}(W_{n}=3)=\frac{2}{2^{n}}\ \ (n\geq3).$$
3. Les variables $1-X_{k}$ sont indépendantes, de loi $\mathcal{B}\!\left(\frac12\right)$ : $(1-X_{1},\ldots,1-X_{n})$ a la même loi que $(X_{1},\ldots,X_{n})$. Donc $s_{n}-W_{n}=\sum k(1-X_{k})$ a la même loi que $W_{n}$, et $\mathbb{P}(W_{n}=k)=\mathbb{P}(s_{n}-W_{n}=k)=\mathbb{P}(W_{n}=s_{n}-k)$.
4. 1. $W_{n+1}=W_{n}+(n+1)X_{n+1}$, et $X_{n+1}$ est indépendante de $W_{n}$ (lemme des coalitions). Sachant $[W_{n}=j]$ (de probabilité non nulle), $W_{n+1}$ vaut $j$ ou $j+n+1$, avec probabilité $\frac12$ chacun.
   2. Avec le système complet $([W_{n}=j])_{0\le j\le s_{n}}$ : $$\mathbb{P}(W_{n+1}=k)=\frac12\mathbb{P}(W_{n}=k)+\frac12\mathbb{P}(W_{n}=k-n-1),$$

      en convenant que $\mathbb{P}(W_{n}=m)=0$ pour $m\notin\llbracket0,s_{n}\rrbracket$. Le second terme disparaît si $k\le n$, le premier si $k\geq s_{n}+1$, d'où les trois cas annoncés.

HEC Exercice 11 [Probabilités discrètes, Couples de variables discrètes, Estimations]

Sujet E24

Rappel : Le biais d'un estimateur $T$ de $p$ est $\mathbb{E}(T)-p$. Son risque quadratique est

$$R_p(T)=\mathbb{E}\!\left[(T-p)^2\right].$$

Un dé pipé possède des faces portant seulement les nombres $1$, $2$ et $3$. À chaque lancer,

$$\mathbb{P}(1)=p,\qquad \mathbb{P}(2)=q,\qquad \mathbb{P}(3)=1-p-q,$$

où $p,q>0$ et $p+q<1$.

1. Cours : donner la définition de l'indépendance de deux variables aléatoires discrètes.
2. On effectue $n\ge1$ lancers indépendants. On note $X$ le nombre de $1$ et $Y$ le nombre de $2$.
   1. Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
   2. Déterminer la loi du couple $(X,Y)$.
   3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
   4. Déterminer le biais et le risque quadratique de l'estimateur $$T_n=\frac{X}{n+1}$$

      du paramètre $p$.

3. Le nombre de lancers est désormais une variable $N$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. On note encore $X$ et $Y$ les nombres de $1$ et de $2$ obtenus.
   1. Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
   2. Vérifier que $X$ et $Y$ sont indépendantes.
   3. La variable $$T=\frac{X}{N+1}$$

      est-elle un estimateur sans biais de $p$ ?

Indication 1Indication 2

Corrigé

On note $r=1-p-q$.

1. $X$ et $Y$ discrètes sont indépendantes si $\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])=\mathbb{P}(X=x)\mathbb{P}(Y=y)$ pour tous $x,y$.
2. 1. Chaque lancer donne $1$ avec probabilité $p$, indépendamment : $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{B}(n,q)$.
   2. Pour $i+j\le n$, on choisit les positions des $1$ et des $2$ : $$\mathbb{P}([X=i]\cap[Y=j])=\binom ni\binom{n-i}{j}p^{i}q^{j}r^{n-i-j},\ \text{ et } 0 \text{ si } i+j>n.$$
   3. Non : $\mathbb{P}([X=n]\cap[Y=n])=0\neq p^{n}q^{n}$.
   4. $\mathbb{E}(T_{n})=\frac{np}{n+1}$ : le biais vaut $-\frac{p}{n+1}$. Le risque quadratique vaut $$\mathbb{V}(T_{n})+\left(\frac{p}{n+1}\right)^{2}=\frac{np(1-p)+p^{2}}{(n+1)^{2}}.$$
3. 1. Avec le système complet $([N=m])_{m\in\mathbb{N}}$, en posant $m=i+j+k$ ($k$ : nombre de $3$) : $$\mathbb{P}([X=i]\cap[Y=j])=\sum_{k\geq0}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{i+j+k}}{i!\,j!\,k!}p^{i}q^{j}r^{k}=e^{-\lambda}\frac{(\lambda p)^{i}(\lambda q)^{j}}{i!\,j!}e^{\lambda r}=e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^{i}}{i!}\cdot e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^{j}}{j!},$$

      car $p+q+r=1$. En sommant sur $j$ puis sur $i$ : $X\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda p)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda q)$.

   2. La loi conjointe calculée en a) est le produit des lois marginales : $X$ et $Y$ sont indépendantes.
   3. Sachant $[N=m]$, $X\hookrightarrow\mathcal{B}(m,p)$. Avec le système complet $([N=m])_{m}$ et le théorème de transfert : $$\mathbb{E}(T)=\sum_{m\geq0}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{m}}{m!}\cdot\frac{mp}{m+1}=p\left(1-\sum_{m\geq0}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{m}}{(m+1)!}\right)=p\left(1-\frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}\right)\neq p.$$

      $T$ n'est pas sans biais.

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