Oraux HEC Appro

HEC Exercice 1 [DENS,CE]

Exercice 1 - Estimation d'un paramètre - HEC 2007

Question de cours. Définition d'un estimateur ; définitions du biais et du risque quadratique d'un estimateur. On considère $n>2$ variables aléatoires réelles indépendantes $X_1,\ldots,X_n$ de même loi, de densité

f_0(x)=\begin{cases}\dfrac{3x^2}{\theta^3}&\text{si }x\in[0,\theta],\\0&\text{sinon,}\end{cases}

où $\theta>0$ . On pose $S=X_1+\cdots+X_n$ et $T=\max(X_1,\ldots,X_n)$ .

Calculer $\mathbb{E}(S)$ et $\mathbb{V}(S)$ .
Calculer $\mathbb{P}(T\leq t)$ . En déduire une densité de $T$ , puis $\mathbb{E}(T)$ et $\mathbb{V}(T)$ .
On suppose maintenant $\theta$ $θ$ inconnu et on se propose de l'estimer.
1. Montrer qu'il existe $a,b\in\mathbb{R}$ tels que $S'=aS$ et $T'=bT$ soient des estimateurs sans biais de $\theta$ . Calculer $\mathbb{V}(S')$ et $\mathbb{V}(T')$ .
2. Entre les deux estimateurs $S'$ et $T'$ , lequel doit-on préférer ?

Corrigé

Question de cours. Un estimateur de $\theta$ est une variable aléatoire de la forme $T_n=\varphi(X_1,\ldots,X_n)$ , où $\varphi$ ne dépend pas de $\theta$ . Lorsque $T_n$ admet une espérance, son biais est $b_\theta(T_n)=\mathbb{E}_\theta(T_n)-\theta$ ; l'estimateur est sans biais si ce biais est nul pour tout $\theta$ . Lorsque $T_n$ admet un moment d'ordre $2$ , son risque quadratique est

r_\theta(T_n)=\mathbb{E}_\theta\left((T_n-\theta)^{2}\right)=\mathbb{V}_\theta(T_n)+b_\theta(T_n)^{2}.

Les intégrales suivantes portent sur des fonctions continues sur le segment $[0,\theta]$ : $\mathbb{E}(X_1)=\int_0^\theta\frac{3x^{3}}{\theta^{3}}\,dx=\frac{3\theta}{4},\qquad \mathbb{E}(X_1^{2})=\int_0^\theta\frac{3x^{4}}{\theta^{3}}\,dx=\frac{3\theta^{2}}{5},$
donc $\mathbb{V}(X_1)=\frac{3\theta^{2}}{5}-\frac{9\theta^{2}}{16}=\frac{3\theta^{2}}{80}$ . Par linéarité de l'espérance, puis par indépendance des $X_i$ :
$\boxed{\mathbb{E}(S)=\frac{3n\theta}{4},\qquad \mathbb{V}(S)=\frac{3n\theta^{2}}{80}.}$
La fonction de répartition commune est $F(t)=0$ si $t<0$ , $F(t)=\frac{t^{3}}{\theta^{3}}$ si $t\in[0,\theta]$ et $F(t)=1$ si $t>\theta$ . Comme $[T\leq t]=\bigcap_{i=1}^{n}[X_i\leq t]$ , l'indépendance donne $\mathbb{P}(T\leq t)=F(t)^{n}$ : $\boxed{\mathbb{P}(T\leq t)=\begin{cases}0&\text{si }t<0,\\ \dfrac{t^{3n}}{\theta^{3n}}&\text{si }0\leq t\leq\theta,\\ 1&\text{si }t>\theta.\end{cases}}$
Cette fonction est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal C^1$ sauf en $0$ et $\theta$ : $T$ est à densité, et en dérivant là où c'est possible, une densité de $T$ est $g(t)=\frac{3n\,t^{3n-1}}{\theta^{3n}}$ sur $[0,\theta]$ et $g(t)=0$ ailleurs. Alors
$\mathbb{E}(T)=\int_0^\theta\frac{3n\,t^{3n}}{\theta^{3n}}\,dt=\frac{3n\theta}{3n+1},\qquad \mathbb{E}(T^{2})=\int_0^\theta\frac{3n\,t^{3n+1}}{\theta^{3n}}\,dt=\frac{3n\theta^{2}}{3n+2},$
et, comme $(3n+1)^{2}-3n(3n+2)=1$ ,
$\boxed{\mathbb{E}(T)=\frac{3n\theta}{3n+1},\qquad \mathbb{V}(T)=\frac{3n\theta^{2}}{3n+2}-\frac{9n^{2}\theta^{2}}{(3n+1)^{2}}=\frac{3n\theta^{2}}{(3n+2)(3n+1)^{2}}.}$
1. $S'=aS$ et $T'=bT$ sont des estimateurs (ils ne dépendent pas de $\theta$ ). On a $\mathbb{E}(aS)=\frac{3n\theta}{4}a=\theta$ pour tout $\theta$ si et seulement si $a=\frac{4}{3n}$ , et $\mathbb{E}(bT)=\theta$ si et seulement si $b=\frac{3n+1}{3n}$ . Ensuite $\mathbb{V}(S')=a^{2}\mathbb{V}(S)$ et $\mathbb{V}(T')=b^{2}\mathbb{V}(T)$ : $\boxed{a=\frac{4}{3n},\quad b=\frac{3n+1}{3n},\qquad \mathbb{V}(S')=\frac{\theta^{2}}{15n},\quad \mathbb{V}(T')=\frac{\theta^{2}}{3n(3n+2)}.}$
2. Les deux estimateurs étant sans biais, leur risque quadratique est égal à leur variance. Or $3n(3n+2)-15n=9n(n-1)>0$ pour $n>2$ , donc $\mathbb{V}(T')<\mathbb{V}(S')$ : $\boxed{\text{on préfère }T'=\frac{3n+1}{3n}\max(X_1,\ldots,X_n),\text{ de risque quadratique plus petit.}}$

HEC Exercice 2 [EV-AL,RED]

Exercice 2 - Endomorphisme nilpotent - HEC 2007

Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$ , on note $u^0=\operatorname{Id}_E$ et $u^r=\underbrace{u\circ\cdots\circ u}_{r\text{ termes}}$ pour $r\in\mathbb{N}^*$ . On considère $u\neq0$ tel que, pour tout $x\in E$ , il existe $r(x)\in\mathbb{N}^*$ avec $u^{r(x)}(x)=0$ . (Note : La source écrit $u^{r(x)}=0$ ; l'argument $x$ est rétabli pour exprimer la nilpotence locale utilisée dans la question suivante.)

Donner deux conditions suffisantes de diagonalisabilité d'une matrice réelle (en toute généralité).
Montrer qu'il existe $r\in\mathbb{N}^*$ tel que $u^r$ soit nulle et $u^{r-1}$ ne soit pas nulle.
Déterminer les valeurs propres de $u$ ; est-il diagonalisable ?
On pose $v=\sum_{k=0}^{r-1}u^k/k!$ . Montrer que $v$ est un isomorphisme de $E$ sur $E$ . Exprimer son inverse en fonction de $u$ .
Donner une relation simple entre $\operatorname{Ker} u$ et $\operatorname{Ker}(v-\operatorname{Id})$ .
Déterminer les valeurs propres de $v$ .

Corrigé

Deux conditions suffisantes pour qu'une matrice $A\in\mathcal M_p(\mathbb{R})$ soit diagonalisable : $\boxed{A\text{ symétrique réelle (théorème spectral)}\quad\text{ou}\quad A\text{ possède }p\text{ valeurs propres distinctes.}}$
Soit $(e_1,\ldots,e_p)$ une base de $E$ et $s=\max_i r(e_i)$ . Pour tout $i$ , $u^{s}(e_i)=u^{s-r(e_i)}\left(u^{r(e_i)}(e_i)\right)=0$ ; l'endomorphisme $u^{s}$ est nul sur une base, donc nul. L'ensemble des entiers $k\geq1$ tels que $u^{k}=0$ est une partie non vide de $\mathbb{N}^*$ : il admet un plus petit élément $r$ . On a $r\geq2$ car $u\neq0$ , et $u^{r-1}\neq0$ par minimalité : $\boxed{\exists r\geq2,\quad u^{r}=0\ \text{ et }\ u^{r-1}\neq0.}$
Le polynôme $X^{r}$ est annulateur de $u$ , donc toute valeur propre de $u$ est racine de $X^{r}$ : $\operatorname{Sp}(u)\subset\{0\}$ . Comme $u^{r-1}\neq0$ , il existe $y$ tel que $x=u^{r-1}(y)\neq0$ , et $u(x)=u^{r}(y)=0$ : $0$ est valeur propre. Si $u$ était diagonalisable, sa matrice dans une base de vecteurs propres serait nulle, donc $u=0$ , ce qui est exclu. $\boxed{\operatorname{Sp}(u)=\{0\},\quad u\text{ n'est pas diagonalisable.}}$
Posons $w=\sum_{j=0}^{r-1}\frac{(-1)^{j}u^{j}}{j!}$ . Les puissances de $u$ commutent et $u^{m}=0$ pour $m\geq r$ , donc $v\circ w=\sum_{m=0}^{r-1}\left(\sum_{k=0}^{m}\frac{(-1)^{m-k}}{k!\,(m-k)!}\right)u^{m}=\sum_{m=0}^{r-1}\frac{(1-1)^{m}}{m!}u^{m}=\operatorname{Id}_E,$
car, pour $m\leq r-1$ , tous les couples $(k,m-k)$ apparaissent dans le produit, et $(1-1)^{m}=0$ pour $m\geq1$ . De même $w\circ v=\operatorname{Id}_E$ . Ainsi
$\boxed{v\text{ est un automorphisme de }E\text{ et }v^{-1}=\sum_{k=0}^{r-1}\frac{(-1)^{k}}{k!}u^{k}.}$
On a $v-\operatorname{Id}_E=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{u^{k}}{k!}=u\circ w_1$ avec $w_1=\operatorname{Id}_E+n_1$ et $n_1=\sum_{k=2}^{r-1}\frac{u^{k-1}}{k!}$ . L'endomorphisme $n_1$ s'écrit $u\circ z$ avec $z$ polynôme en $u$ , donc $n_1^{r}=u^{r}\circ z^{r}=0$ ; par télescopage, $(\operatorname{Id}_E+n_1)\circ\sum_{k=0}^{r-1}(-1)^{k}n_1^{k}=\operatorname{Id}_E-(-1)^{r}n_1^{r}=\operatorname{Id}_E$ , et de même dans l'autre sens : $w_1$ est inversible. Comme $w_1$ commute avec $u$ , $v-\operatorname{Id}_E=w_1\circ u$ et, $w_1$ étant injectif, $(v-\operatorname{Id}_E)(x)=0\iff u(x)=0$ : $\boxed{\operatorname{Ker}(v-\operatorname{Id}_E)=\operatorname{Ker} u.}$
D'après la question précédente, $(v-\operatorname{Id}_E)^{r}=w_1^{r}\circ u^{r}=0$ : le polynôme $(X-1)^{r}$ annule $v$ , donc $\operatorname{Sp}(v)\subset\{1\}$ . Enfin $\operatorname{Ker}(v-\operatorname{Id}_E)=\operatorname{Ker} u\neq\{0\}$ par la question 3, donc $1$ est valeur propre : $\boxed{\operatorname{Sp}(v)=\{1\}.}$

HEC Exercice 3 [DENS,DIS]

Exercice 3 - Durée de vie de composants - HEC 2007

On considère un type de composants électroniques dont la durée de vie $X$ , exprimée en heures, est une variable de densité

f(t)=\begin{cases}c/t^2&\text{si }t\geq10,\\0&\text{sinon.}\end{cases}

Rappeler les qualités d'une densité de probabilité ; en déduire $c$ .
Déterminer les réels $m$ pour lesquels $\mathbb{P}(X\leq m)=\mathbb{P}(X>m)$ .
Quelle est la probabilité que, sur un lot de $5$ composants, $3$ au moins fonctionnent durant au moins $15$ heures ?

Deux machines $A,B$ sont équipées de composants de ce type :

$A$ contient deux composants et cesse de fonctionner dès que l'un est défectueux ;
$B$ contient deux composants mais un seul suffit à la faire fonctionner.

On note $T_A,T_B$ leurs durées de fonctionnement. (Note : La source ne précise pas l'indépendance des durées de vie des composants.)

Déterminer une densité de chacune des variables $T_A,T_B$ .
Pour chacune, indiquer si elle possède une espérance et, le cas échéant, la calculer.

Corrigé

Une densité est une fonction positive, continue sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en un nombre fini de points, dont l'intégrale sur $\mathbb{R}$ converge et vaut $1$ . Ici $f$ est positive dès que $c\geq0$ et continue sauf en $10$ . Pour $A>10$ , $\int_{10}^{A}\frac{c}{t^{2}}\,dt=c\left(\frac{1}{10}-\frac1A\right)\xrightarrow[A\to+\infty]{}\frac{c}{10},$
donc $\boxed{c=10.}$
La fonction de répartition de $X$ est $F(x)=0$ si $x<10$ et $F(x)=1-\frac{10}{x}$ si $x\geq10$ . Comme $\mathbb{P}(X>m)=1-F(m)$ , la condition s'écrit $F(m)=\frac12$ . Elle est impossible pour $m<10$ , et pour $m\geq10$ elle équivaut à $\frac{10}{m}=\frac12$ : $\boxed{m=20.}$
Un composant fonctionne au moins $15$ heures avec la probabilité $\mathbb{P}(X\geq15)=\frac{10}{15}=\frac23$ . En supposant les durées de vie des $5$ composants indépendantes, le nombre $N$ de composants fonctionnant au moins $15$ heures suit la loi $\mathcal B\left(5,\frac23\right)$ : $\mathbb{P}(N\geq3)=\binom53\frac{2^{3}}{3^{5}}+\binom54\frac{2^{4}}{3^{5}}+\frac{2^{5}}{3^{5}}=\frac{80+80+32}{243},$
soit $\boxed{\mathbb{P}(N\geq3)=\frac{64}{81}.}$
On suppose les durées de vie $X_1,X_2$ des deux composants indépendantes, de densité $f$ . Alors $T_A=\min(X_1,X_2)$ et $T_B=\max(X_1,X_2)$ . Pour $t\geq10$ , par indépendance, $\mathbb{P}(T_A>t)=\mathbb{P}(X_1>t)\mathbb{P}(X_2>t)=\frac{100}{t^{2}},\qquad \mathbb{P}(T_B\leq t)=F(t)^{2}=\left(1-\frac{10}{t}\right)^{2},$
et ces deux fonctions de répartition sont nulles sur $]-\infty,10[$ . Elles sont continues sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal C^1$ sauf en $10$ ; en dérivant là où c'est possible :
$\boxed{f_{T_A}(t)=\frac{200}{t^{3}},\qquad f_{T_B}(t)=\frac{20(t-10)}{t^{3}}\quad\text{pour }t\geq10,\qquad 0\text{ sinon.}}$
Pour $A>10$ , $\int_{10}^{A}t\,\frac{200}{t^{3}}\,dt=200\left(\frac1{10}-\frac1A\right)\to20$ : $T_A$ admet une espérance. En revanche $t f_{T_B}(t)=\frac{20(t-10)}{t^{2}}$ est positive et équivalente à $\frac{20}{t}$ en $+\infty$ ; l'intégrale de Riemann $\int_{10}^{+\infty}\frac{dt}{t}$ diverge, donc $\int_{10}^{+\infty}t f_{T_B}(t)\,dt$ diverge. $\boxed{\mathbb{E}(T_A)=20,\qquad T_B\text{ n'admet pas d'espérance.}}$

HEC Exercice 4 [DIS,SS]

Exercice 4 - Deux pièces truquées - HEC 2007

Question de cours. Rappeler la formule des probabilités totales. On lance deux pièces truquées : la pièce $1$ donne pile avec la probabilité $p_1$ et la pièce $2$ avec la probabilité $p_2$ . On choisit une pièce uniformément au hasard et on la lance. Si on obtient pile, on relance la même pièce jusqu'à obtenir face ; à ce moment on change de pièce. Plus généralement, dès qu'on obtient face, on change de pièce. On suppose $p_1,p_2\in]0,1[$ .

Quelle est la probabilité de lancer la pièce $1$ au $n$ -ième lancer ?
Quelle est la probabilité $r_n$ d'obtenir pile au $n$ -ième lancer ?
Calculer $L=\lim_{n\to+\infty}r_n$ .
On suppose $p_1=1/3$ et $p_2=1/6$ . Écrire en Pascal l'expression d'une fonction permettant de calculer un rang $n_0$ à partir duquel $|r_n-L|\leq10^{-6}$ .

Corrigé

Question de cours. Si $(A_i)_{i\in I}$ , avec $I$ fini ou dénombrable, est un système complet d'événements, alors pour tout événement $B$ : $\mathbb{P}(B)=\sum_{i\in I}\mathbb{P}(A_i\cap B)$ , et $\mathbb{P}(B)=\sum_{i\in I}\mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}_{A_i}(B)$ lorsque tous les $\mathbb{P}(A_i)$ sont non nuls.

Notons $A_n$ l'événement « on lance la pièce $1$ au $n$ -ième lancer » et $a_n=\mathbb{P}(A_n)$ . On lance la pièce $1$ au lancer $n+1$ si l'on a lancé la pièce $1$ au lancer $n$ et obtenu pile, ou si l'on a lancé la pièce $2$ et obtenu face. Avec le système complet $(A_n,\overline{A_n})$ : $a_{n+1}=p_1a_n+(1-p_2)(1-a_n)=s\,a_n+1-p_2,\qquad s=p_1+p_2-1\in\left]-1,1\right[.$
Le point fixe est $\ell=\frac{1-p_2}{1-s}=\frac{1-p_2}{2-p_1-p_2}$ , et $a_{n+1}-\ell=s(a_n-\ell)$ ; comme $a_1=\frac12$ :
$\boxed{a_n=\frac{1-p_2}{2-p_1-p_2}+(p_1+p_2-1)^{n-1}\left(\frac12-\frac{1-p_2}{2-p_1-p_2}\right).}$
Avec le système complet $(A_n,\overline{A_n})$ : $\boxed{r_n=p_1a_n+p_2(1-a_n)=p_2+(p_1-p_2)a_n.}$
Comme $|s|<1$ , $s^{n-1}\to0$ , donc $a_n\to\ell$ et $r_n\to p_2+(p_1-p_2)\ell$ . Après simplification du numérateur $p_2(2-p_1-p_2)+(p_1-p_2)(1-p_2)$ : $\boxed{L=\frac{p_1+p_2-2p_1p_2}{2-p_1-p_2}.}$
Pour $p_1=\frac13$ $p_{1} = \frac{1}{3}$ et $p_2=\frac16$ $p_{2} = \frac{1}{6}$ : $s=-\frac12$ $s = - \frac{1}{2}$ , $\ell=\frac59$ $ℓ = \frac{5}{9}$ , $L=\frac{7}{27}$ $L = \frac{7}{27}$ et $|r_n-L|=|p_1-p_2|\,|a_n-\ell|=\frac16\cdot\frac{1}{18}\cdot\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{108\cdot2^{n-1}},$
qui décroît strictement : le premier rang où $|r_n-L|\leq10^{-6}$ convient pour tous les rangs suivants. Le programme calcule $a_n$ et $r_n$ par la récurrence et s'arrête au premier rang où l'écart est au plus $10^{-6}$ .
```
def rang():
    p1 = 1/3
    p2 = 1/6
    L = (p1+p2-2*p1*p2)/(2-p1-p2)
    a = 1/2
    r = p2+(p1-p2)*a
    n = 1
    while r-L > 10**(-6) or L-r > 10**(-6):
        a = (p1+p2-1)*a+1-p2
        r = p2+(p1-p2)*a
        n = n+1
    return n
```
La condition $108\cdot2^{n-1}\geq10^{6}$ équivaut à $2^{n-1}\geq9260$ environ, et $2^{13}<9260<2^{14}$ : la fonction renvoie $\boxed{n_0=15.}$

HEC Exercice 5 [DIS]

Exercice 5 - Tirages avec remise - HEC 2007

Soient $n,N$ des entiers non nuls. Une urne contient $n$ jetons numérotés de $1$ à $n$ . On effectue $N$ tirages avec remise.

Soit $F_i$ le nombre de fois où le jeton $i$ a été tiré. Déterminer sa loi. On pose $F=\sum_{i=1}^nF_i$ .
Déterminer la loi de $F_i$ , son espérance et sa variance. (Note : La source répète ici $F_i$ après avoir défini $F$ ; cette formulation est conservée.) Les $F_i$ sont-elles deux à deux indépendantes ?
Pour $i\in\{1,\ldots,n\}$ , on note $X_i$ la variable égale à $0$ si le numéro $i$ n'a pas été tiré et à $1$ s'il l'a été au moins une fois. Déterminer sa loi, son espérance et sa variance.
Pour tout $(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$ , déterminer $\mathbb{P}_{[X_i=0]}(X_j=0)$ . (Note : La source indique $(i,j)\in\{0,1\}^2$ , alors que les variables sont indexées de $1$ à $n$ ; les indices sont harmonisés avec leur définition.) Les variables $X_i,X_j$ sont-elles indépendantes ?

Corrigé

Les $N$ tirages sont indépendants et chacun donne le jeton $i$ avec la probabilité $\frac1n$ : $F_i$ est le nombre de succès dans $N$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $\frac1n$ . Chaque tirage donne exactement un jeton, donc $F=N$ est certaine. $\boxed{F_i\hookrightarrow\mathcal B\left(N,\frac1n\right),\quad \mathbb{E}(F_i)=\frac Nn,\quad \mathbb{V}(F_i)=\frac{N(n-1)}{n^{2}},\quad F=N.}$
Pour $n\geq2$ et $i\neq j$ , $\mathbb{P}([F_i=N]\cap[F_j=N])=0$ alors que $\mathbb{P}(F_i=N)\mathbb{P}(F_j=N)=n^{-2N}\neq0$ : $\boxed{\text{les }F_i\text{ ne sont pas deux à deux indépendantes.}}$
On a $[X_i=0]=[F_i=0]$ , de probabilité $q=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{N}$ . Ainsi $X_i$ suit une loi de Bernoulli : $\boxed{X_i\hookrightarrow\mathcal B(1,1-q),\quad \mathbb{E}(X_i)=1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^{N},\quad \mathbb{V}(X_i)=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{N}\left(1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^{N}\right).}$
Pour $n\geq2$ , $q>0$ . Si $i=j$ , la probabilité conditionnelle vaut $1$ . Si $i\neq j$ , l'événement $[X_i=0]\cap[X_j=0]$ signifie que chacun des $N$ tirages donne un jeton autre que $i$ et $j$ , d'où $\mathbb{P}([X_i=0]\cap[X_j=0])=\left(\frac{n-2}{n}\right)^{N}$ et
$\boxed{\mathbb{P}_{[X_i=0]}(X_j=0)=\left(\frac{n-2}{n-1}\right)^{N}\ (i\neq j),\qquad \mathbb{P}_{[X_i=0]}(X_i=0)=1.}$
Pour $i\neq j$ , l'indépendance imposerait $\left(\frac{n-2}{n-1}\right)^{N}=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{N}$ , soit $n(n-2)=(n-1)^{2}$ , c'est-à-dire $0=1$ : $\boxed{X_i\text{ et }X_j\ (i\neq j)\text{ ne sont pas indépendantes.}}$

HEC Exercice 6 [DENS,INT,FVR]

Exercice 6 - Loi de Pareto - HEC 2007

Soient $\alpha>0$ , $x_0>0$ et

f(x)=\begin{cases}\dfrac\alpha{x_0}\left(\dfrac{x_0}x\right)^{\alpha+1}&\text{si }x\geq x_0,\\0&\text{sinon.}\end{cases}

1. Donner la définition d'une variable à densité et vérifier que $f$ est une densité d'une variable réelle $X$ . Déterminer sa fonction de répartition et donner l'allure de son graphe. On dit que $X$ suit la loi de Pareto de paramètres $x_0,\alpha$ .
2. Pour quelles valeurs de $\alpha$ , $X$ admet-elle une espérance et une variance ? Calculer l'espérance lorsqu'elle existe.
3. On suppose $\alpha>1$ et on pose, pour $x>x_0$ , $M_X(x)=\frac{\int_x^{+\infty}tf(t)\,dt}{\int_x^{+\infty}f(t)\,dt}.$
  Calculer $M_X(x)$ .
On se propose d'établir une réciproque. Soient $x_0>0$ $x_{0} > 0$ et $Y$ $Y$ à valeurs dans $[x_0,+\infty[$ $[x_{0}, + \infty [$ , de densité $h$ $h$ continue, à valeurs strictement positives, admettant une espérance et telle qu'il existe $k>1$ $k > 1$ vérifiant $\forall x>x_0,\quad M_Y(x)=\frac{\int_x^{+\infty}th(t)\,dt}{\int_x^{+\infty}h(t)\,dt}=kx.$
1. On pose $G(x)=\int_x^{+\infty}h(t)\,dt$ pour $x>x_0$ . Montrer que $G(x)=\frac{1-k}{k}xG'(x)$ .
2. En calculant la dérivée de $x\mapsto x^{k/(k-1)}G(x)$ pour $x>x_0$ , déterminer $G$ , puis la fonction de répartition de $Y$ . Quelle loi retrouve-t-on ?

Corrigé

1. Une variable $X$ est à densité si sa fonction de répartition est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal C^1$ sauf éventuellement en un nombre fini de points. Ici $f$ est positive, continue sauf en $x_0$ , et pour $A>x_0$ , $\int_{x_0}^{A}\frac{\alpha}{x_0}\left(\frac{x_0}{t}\right)^{\alpha+1}dt=\left[-\left(\frac{x_0}{t}\right)^{\alpha}\right]_{x_0}^{A}=1-\left(\frac{x_0}{A}\right)^{\alpha}\xrightarrow[A\to+\infty]{}1 :$
  $f$ est une densité. Sa fonction de répartition est
  $\boxed{F(x)=0\ \text{ si }x<x_0,\qquad F(x)=1-\left(\frac{x_0}{x}\right)^{\alpha}\ \text{ si }x\geq x_0.}$
  Le graphe est nul jusqu'à $x_0$ , puis croît strictement et de façon concave (car $F''(x)=-\alpha(\alpha+1)x_0^{\alpha}x^{-\alpha-2}<0$ ) de $0$ vers l'asymptote horizontale $y=1$ .
2. $tf(t)=\alpha x_0^{\alpha}t^{-\alpha}$ et $t^{2}f(t)=\alpha x_0^{\alpha}t^{1-\alpha}$ sur $[x_0,+\infty[$ . Par le critère de Riemann, la première intégrale converge si et seulement si $\alpha>1$ , la seconde si et seulement si $\alpha>2$ . Pour $\alpha>1$ , $\int_{x_0}^{+\infty}\alpha x_0^{\alpha}t^{-\alpha}\,dt=\frac{\alpha x_0^{\alpha}x_0^{1-\alpha}}{\alpha-1}$ : $\boxed{\mathbb{E}(X)\text{ existe}\iff\alpha>1,\ \mathbb{E}(X)=\frac{\alpha x_0}{\alpha-1}\ ;\qquad \mathbb{V}(X)\text{ existe}\iff\alpha>2.}$
3. Pour $x>x_0$ , les mêmes calculs donnent $\int_x^{+\infty}tf(t)\,dt=\frac{\alpha x_0^{\alpha}x^{1-\alpha}}{\alpha-1}$ et $\int_x^{+\infty}f(t)\,dt=\left(\frac{x_0}{x}\right)^{\alpha}$ , d'où $\boxed{M_X(x)=\frac{\alpha}{\alpha-1}\,x.}$
1. Comme $h$ est continue, $G(x)=1-\int_{x_0}^{x}h(t)\,dt$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $]x_0,+\infty[$ avec $G'=-h$ . De même $\int_x^{+\infty}th(t)\,dt=\mathbb{E}(Y)-\int_{x_0}^{x}th(t)\,dt$ a pour dérivée $-xh(x)=xG'(x)$ . En dérivant l'égalité $\int_x^{+\infty}th(t)\,dt=kxG(x)$ : $xG'(x)=kG(x)+kxG'(x),\quad\text{soit}\quad \boxed{G(x)=\frac{1-k}{k}\,xG'(x).}$
2. Posons $\varphi(x)=x^{k/(k-1)}G(x)$ pour $x>x_0$ . Avec la relation précédente, $\frac{k}{k-1}x^{\frac{1}{k-1}}G(x)=-x^{\frac{k}{k-1}}G'(x)$ , donc $\varphi'(x)=\frac{k}{k-1}x^{\frac{1}{k-1}}G(x)+x^{\frac{k}{k-1}}G'(x)=0.$
  $\varphi$ est constante sur l'intervalle $]x_0,+\infty[$ : $G(x)=Cx^{-k/(k-1)}$ . Comme $G(x)\to1$ quand $x\to x_0^{+}$ (car $Y\geq x_0$ ), $C=x_0^{k/(k-1)}$ . En posant $\alpha=\frac{k}{k-1}>1$ :
  $\boxed{F_Y(x)=1-\left(\frac{x_0}{x}\right)^{\alpha}\ (x\geq x_0),\quad F_Y(x)=0\ (x<x_0) : Y\text{ suit la loi de Pareto de paramètres }x_0,\ \alpha=\frac{k}{k-1}.}$
  On retrouve bien $M_Y(x)=\frac{\alpha}{\alpha-1}x=kx$ .

HEC Exercice 7 [DIS]

Exercice 7 - Égalité de deux variables binomiales - HEC 2007

Soient $X,Y$ deux variables binomiales de paramètres $(n,1/2)$ indépendantes. Calculer $\mathbb{P}(X=Y)$ .

Corrigé

La variable $Y'=n-Y$ prend ses valeurs dans $\{0,\ldots,n\}$ et $\mathbb{P}(Y'=k)=\mathbb{P}(Y=n-k)=\binom{n}{n-k}2^{-n}=\binom nk2^{-n}$ : $Y'\hookrightarrow\mathcal B\left(n,\frac12\right)$ , et $Y'$ est indépendante de $X$ . Par stabilité des lois binomiales de même paramètre $p=\frac12$ , $X+Y'\hookrightarrow\mathcal B\left(2n,\frac12\right)$ . Or $[X=Y]=[X+Y'=n]$ , donc

\boxed{\mathbb{P}(X=Y)=\binom{2n}{n}\frac{1}{4^{n}}.}

On peut aussi écrire, avec le système complet $([X=k])_{0\leq k\leq n}$ et l'indépendance, $\mathbb{P}(X=Y)=\sum_{k=0}^{n}\mathbb{P}(X=k)\mathbb{P}(Y=k)=\frac{1}{4^{n}}\sum_{k=0}^{n}\binom nk^{2}$ , ce qui redonne la formule de Vandermonde $\sum_{k=0}^{n}\binom nk^{2}=\binom{2n}{n}$ .

HEC Exercice 8 [FNV]

Exercice 8 - Rendement agricole - HEC 2007

Un agriculteur souhaite améliorer le rendement de son exploitation en utilisant de l'engrais. Une étude a montré que le rendement, en tonnes par hectare, pour la variété de blé cultivée est

f(B,N)=120B-8B^2+4BN-2N^2,

où $B$ est la quantité de semences de blé utilisée et $N$ la quantité d'engrais.

Déterminer les extrema de $f$ ; donner leur nature.
Si une contrainte de budget impose $B+2N=23$ , déterminer l'optimum de rendement.

Corrigé

$f$ est polynomiale, donc de classe $\mathcal C^1$ sur l'ouvert $\mathbb{R}^{2}$ ; ses extrema sont à chercher parmi ses points critiques. $\partial_1f(B,N)=120-16B+4N,\qquad \partial_2f(B,N)=4B-4N.$
Le système $\partial_1f=\partial_2f=0$ donne $B=N$ puis $120-12B=0$ : l'unique point critique est $(10,10)$ . Pour tous réels $h,k$ ,
$f(10+h,10+k)-f(10,10)=-8h^{2}+4hk-2k^{2}=-2(k-h)^{2}-6h^{2}\leq0,$
avec égalité seulement si $h=k=0$ . Comme $f(10,10)=1200-800+400-200=600$ :
$\boxed{f\text{ admet en }(10,10)\text{ un maximum global strict égal à }600,\text{ et aucun autre extremum.}}$
Sous la contrainte $B=23-2N$ , on étudie $g(N)=f(23-2N,N)$ . En développant, $g(N)=-42N^{2}+588N-1472,$
trinôme de coefficient dominant négatif, maximal en $N=\frac{588}{84}=7$ , donc $B=9$ (valeurs positives, admissibles). On vérifie $f(9,7)=1080-648+252-98=586$ :
$\boxed{\text{sous la contrainte }B+2N=23,\text{ le rendement maximal est }586,\text{ atteint pour }B=9,\ N=7.}$

HEC Exercice 9 [EV-AL,RED]

Exercice 9 - Familles de vecteurs propres - HEC 2007

Donner, s'il en existe, un exemple de trois vecteurs de $\mathbb{R}^2$ tels que deux quelconques soient linéairement indépendants. Existe-t-il un endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ dont ces trois vecteurs soient vecteurs propres ?
Soit $f\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)$ $f \in L (R^{n})$ et $\mathcal F$ $F$ une famille de $n+1$ $n + 1$ vecteurs propres de $f$ $f$ , s'il en existe.
1. $\mathcal F$ peut-elle être libre ?
2. On suppose toute sous-famille de $n$ vecteurs de $\mathcal F$ libre. Démontrer que les $n+1$ valeurs propres associées aux $n+1$ vecteurs sont égales. Que peut-on en conclure pour $f$ ?

Corrigé

Les vecteurs $e_1=(1,0)$ , $e_2=(0,1)$ et $e_1+e_2=(1,1)$ sont deux à deux non colinéaires, donc deux quelconques d'entre eux sont linéairement indépendants. L'identité (ou toute homothétie) admet ces trois vecteurs pour vecteurs propres. Ce sont d'ailleurs les seuls endomorphismes possibles : si $f(e_1)=\lambda_1e_1$ , $f(e_2)=\lambda_2e_2$ et $f(e_1+e_2)=\mu(e_1+e_2)$ , alors $\lambda_1e_1+\lambda_2e_2=\mu e_1+\mu e_2$ , donc $\lambda_1=\lambda_2=\mu$ . $\boxed{(1,0),\ (0,1),\ (1,1)\ ;\ \text{oui, par exemple }\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^{2}}\text{ (et seules les homothéties conviennent).}}$
1. Une famille libre de $\mathbb{R}^{n}$ a au plus $n$ éléments : $\boxed{\mathcal F\text{ ne peut pas être libre.}}$
2. Notons $\mathcal F=(v_1,\ldots,v_{n+1})$ avec $f(v_i)=\lambda_iv_i$ et $v_i\neq0$ . La famille $(v_1,\ldots,v_n)$ est libre de cardinal $n$ , c'est une base de $\mathbb{R}^{n}$ : $v_{n+1}=\sum_{i=1}^{n}a_iv_i$ . Si un coefficient $a_j$ était nul, la famille des $n$ vecteurs $(v_i)_{i\neq j}$ , qui contient $v_{n+1}$ , serait liée : contradiction. Donc tous les $a_i$ sont non nuls. En appliquant $f$ , $\sum_{i=1}^{n}\lambda_{n+1}a_iv_i=f(v_{n+1})=\sum_{i=1}^{n}\lambda_ia_iv_i,$
  et, par liberté, $a_i(\lambda_i-\lambda_{n+1})=0$ , soit $\lambda_i=\lambda_{n+1}$ pour tout $i$ . Notons $\lambda$ cette valeur commune : $f$ coïncide avec $\lambda\operatorname{Id}$ sur la base $(v_1,\ldots,v_n)$ .
  $\boxed{\lambda_1=\cdots=\lambda_{n+1}=\lambda\quad\text{et}\quad f=\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^{n}}\text{ est une homothétie.}}$

HEC Exercice 10 [EV-AL]

Exercice 10 - Compositions d'endomorphismes - HEC 2007

Soient $u,v\in\mathcal L(\mathbb{R}^2)$ , de matrices respectives $A,B$ dans la base canonique $(e_1,e_2)$ . On suppose

AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.

$v$ peut-il être bijectif ? Déterminer $\operatorname{Im} v$ .
Déterminer $\operatorname{Ker} u$ .
Donner la forme des matrices $A,B$ .

Corrigé

Si $v$ était bijectif, $B$ serait inversible et $A=(AB)B^{-1}=0$ , donc $BA=0$ : contradiction. Ainsi $v$ n'est pas bijectif et $\operatorname{rg}B\leq1$ . Comme $BA\neq0$ , $B\neq0$ , donc $\operatorname{rg}B=1$ . De plus $\operatorname{Im}(v\circ u)\subset\operatorname{Im}v$ et $\operatorname{Im}(v\circ u)=\operatorname{Vect}(e_1)$ (la matrice $BA$ envoie $e_2$ sur $e_1$ et $e_1$ sur $0$ ). Les deux espaces étant de dimension $1$ : $\boxed{v\text{ n'est pas bijectif et }\operatorname{Im}v=\operatorname{Vect}(e_1).}$
$AB=0$ signifie $u\circ v=0$ , soit $\operatorname{Im}v\subset\operatorname{Ker} u$ : $e_1\in\operatorname{Ker} u$ . Comme $BA\neq0$ , $u\neq0$ et, par le théorème du rang, $\dim\operatorname{Ker} u\leq1$ . Donc $\boxed{\operatorname{Ker} u=\operatorname{Vect}(e_1).}$
$u(e_1)=0$ : la première colonne de $A$ est nulle. $\operatorname{Im}v=\operatorname{Vect}(e_1)$ : la seconde ligne de $B$ est nulle. On écrit donc $A=\begin{pmatrix}0&a\\0&b\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}c&d\\0&0\end{pmatrix}$ . Alors $AB=0$ automatiquement et $BA=\begin{pmatrix}0&ac+bd\\0&0\end{pmatrix}$ . Réciproquement, de telles matrices conviennent dès que $ac+bd=1$ : $\boxed{A=\begin{pmatrix}0&a\\0&b\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}c&d\\0&0\end{pmatrix},\quad ac+bd=1.}$