Oraux ESCP Appro

Oraux ESCP des sessions précédentes réécrits et reformulés dans le nouveau format en vigueur depuis la session 2025. Je vous rappelle que dorénavant les oraux sont intégralement sans préparation : il y a un exercice (ci-dessous) à résoudre en 20-22 minutes sans préparation et une petite question sans préparation (voir page QSP) à résoudre en 8-10 minutes. Les exercices originaux sont trouvables sur le site de l’ESCP mais sont obsolètes, je ne conseille pas de travailler dessus pour s’entraîner pour l’ESCP.

Thèmes

EV-ALEspaces vectoriels et applications linéaires146INTIntégration130DISProbabilités discrètes124SSSuites et séries106REDRéduction100FVRFonctions d'une variable réelle97DENSProbabilités à densité93BILAlgèbre bilinéaire76CEConvergences et estimations54FNVFonctions de n variables23PYPython14

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469 exercices

ESCP 2015

ESCP Exercice 1 [INT,FVR]

Sujet 1.01 — Analyse

On considère, lorsque cette intégrale converge,

$$f(x)=\int_1^{+\infty}\frac{dt}{1+t+t^{x+1}}.$$

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et son sens de variation.
2. Pour $x>0$, justifier la convergence de $g(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t+t^{x+1}}$ et calculer $g(x)$ à l'aide d'un changement de variable.
3. Montrer que, pour tout $x>0$, $$0\leq g(x)-f(x)\leq\frac1{2x+1}.$$

   En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ et un équivalent de $f(x)$ lorsque $x\to0^+$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. Si $x>0$, l'intégrande est équivalent à $t^{-x-1}$ en $+\infty$, donc l'intégrale converge. Si $x=0$, il est équivalent à $1/(2t)$ ; si $x<0$, à $1/t$ : dans ces deux cas elle diverge. Ainsi $\boxed{D_f=]0,+\infty[}$. Pour $y>x>0$ et $t>1$, $t^{y+1}>t^{x+1}$, donc l'intégrande pour $y$ est strictement plus petit. L'intégration donne $\boxed{f\text{ strictement décroissante}}$.
2. Pour $x>0$, la comparaison à $t^{-x-1}$ assure la convergence de $g(x)$. Le changement $u=t^{-x}$ est de classe $\mathcal C^1$, bijectif et strictement décroissant de $[1,+\infty[$ sur $]0,1]$, avec $du=-xt^{-x-1}dt$. Il donne une intégrale de même nature et $$\boxed{g(x)=\frac1x\int_0^1\frac{du}{1+u}=\frac{\ln2}{x}}.$$
3. Avec $A=t+t^{x+1}$, $$0\leq\frac1A-\frac1{A+1}=\frac1{A(A+1)}\leq t^{-2x-2}.$$

   En intégrant entre $1$ et $R$, puis en faisant tendre $R$ vers $+\infty$,

   $$\boxed{0\leq g(x)-f(x)\leq\frac1{2x+1}}.$$

   L'encadrement $0<f(x)\leq\ln2/x$ entraîne $\boxed{f(x)\longrightarrow0\ (x\to+\infty)}$. Au voisinage de $0$ à droite, $|xf(x)-\ln2|\leq x/(2x+1)\to0$, donc $\boxed{f(x)\sim\ln2/x}$.

ESCP Exercice 2 [INT,SS]

Sujet 1.02 — Analyse

Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose

$$u_n=\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1+x}}\,dx,\qquad v_n=\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1-x}}\,dx.$$

1. Justifier ces définitions. Étudier la monotonie et la limite de $(u_n)$.
2. À l'aide d'intégrations par parties, déterminer les réels $a,b$ tels que $$u_n=\frac a n+\frac b{n^2}+o\!\left(\frac1{n^2}\right)\quad(n\to+\infty).$$

   Quelle est la nature de la série $\sum u_n$ ?

3. Déterminer la limite de $(v_n)$ et la nature de la série $\sum v_n$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. L'intégrande de $u_n$ est continu sur $[0,1]$. Celui de $v_n$ est positif et majoré par $(1-x)^{-1/2}$, dont l'intégrale sur $[0,1[$ vaut $2$. Les deux nombres existent. Comme $x^{n+1}<x^n$ pour $0<x<1$, $u_{n+1}<u_n$. Enfin $0\leq u_n\leq\int_0^1x^n dx=1/(n+1)$ : $\boxed{u_n\downarrow0}$.
2. Posons $h(x)=(1+x)^{-1/2}$. Les fonctions $h$, $h'$ et les puissances utilisées sont de classe $\mathcal C^1$ sur $[0,1]$. On a $h'=-(1/2)(1+x)^{-3/2}$ et $h''=(3/4)(1+x)^{-5/2}$. Pour la première intégration par parties, prendre $u=h$ et $v=x^{n+1}/(n+1)$, avec $u'=h'$ et $v'=x^n$. Pour la seconde, prendre $u=h'$ et $v=x^{n+2}/(n+2)$, avec $u'=h''$ et $v'=x^{n+1}$. Les deux intégrations par parties sur ce segment donnent $$u_n=\frac{h(1)}{n+1}-\frac{h'(1)}{(n+1)(n+2)}+\frac1{(n+1)(n+2)}\int_0^1x^{n+2}h''(x)dx.$$

   Le dernier terme est compris entre $0$ et $3/[4(n+1)(n+2)(n+3)]$. Comme $h(1)=1/\sqrt2$ et $h'(1)=-1/(4\sqrt2)$,

   $$\boxed{u_n=\frac1{\sqrt2\,n}-\frac3{4\sqrt2\,n^2}+o(1/n^2)}.$$

   Ainsi $\boxed{a=1/\sqrt2,\ b=-3/(4\sqrt2)}$ ; par comparaison avec la série harmonique, $\boxed{\sum u_n\text{ diverge}}$.

3. Pour $0<a<1$, $$0\leq v_n\leq a^n\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{1-x}}+\int_a^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\leq2a^n+2\sqrt{1-a}.$$

   Pour tout $\varepsilon>0$, choisir d'abord $a$ tel que $2\sqrt{1-a}<\varepsilon/2$, puis $n$ tel que $2a^n<\varepsilon/2$. Donc $\boxed{v_n\to0}$. Mais $v_n\geq\int_0^1x^n dx=1/(n+1)$ : $\boxed{\sum v_n\text{ diverge}}$.

ESCP Exercice 3 [INT,FVR]

Sujet 1.03 — Analyse

On considère

$$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt^2}}{1+t}\,dt$$

pour les réels $x$ pour lesquels l'intégrale converge. On admet que $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,du=\frac{\sqrt\pi}{2}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $F$ et son sens de variation.
2. Montrer que, pour $x>0$, $$F(x)\geq\frac1e\int_0^{1/\sqrt x}\frac{dt}{1+t},\qquad F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-u^2}}{\sqrt x+u}\,du.$$

   En déduire les limites de $F$ aux extrémités de son domaine.

3. À l'aide de la seconde expression, montrer que $F$ est continue et établir le développement $$F(x)=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt x}-\frac1{2x}+o\!\left(\frac1x\right)\quad(x\to+\infty).$$

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. Pour $x>0$, l'intégrande est continu en $0$ et, pour $t\geq1$, majoré par $e^{-xt}$ : l'intégrale converge. Pour $x\leq0$, il est supérieur à $1/(1+t)$ : elle diverge. Ainsi $\boxed{D_F=]0,+\infty[}$. La comparaison stricte des intégrandes donne $\boxed{F\text{ strictement décroissante}}$.
2. Pour $0\leq t\leq1/\sqrt x$, $e^{-xt^2}\geq e^{-1}$, donc $$F(x)\geq e^{-1}\ln(1+1/\sqrt x).$$

   Le changement $u=\sqrt x\,t$ est de classe $\mathcal C^1$, bijectif de $[0,+\infty[$ sur lui-même ; l'intégrale obtenue a la même nature et

   $$\boxed{F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-u^2}}{\sqrt x+u}\,du}.$$

   La minoration précédente donne $\boxed{F(x)\to+\infty\ (x\to0^+)}$. La majoration $F(x)\leq\sqrt\pi/(2\sqrt x)$ donne $\boxed{F(x)\to0\ (x\to+\infty)}$.

3. Pour $x,y>0$, en intégrant une majoration de la différence, $$|F(x)-F(y)|\leq\frac{|\sqrt x-\sqrt y|}{\sqrt x\sqrt y}\frac{\sqrt\pi}2.$$

   Le membre de droite tend vers $0$ quand $y\to x>0$ : $\boxed{F\text{ est continue}}$. L'identité indiquée, avec $s=\sqrt x$, donne

   $$F(x)=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt x}-\frac1{2x}+R(x),\quad 0\leq R(x)\leq x^{-3/2}\int_0^{+\infty}u^2e^{-u^2}du.$$

   L'intégrale de droite converge par comparaison à $e^{-u^2/2}$ puis à $e^{-u/2}$ pour $u\geq1$. Le calcul $\int_0^{+\infty}ue^{-u^2}du=1/2$ provient de la primitive $-e^{-u^2}/2$. Donc $xR(x)\to0$, ce qui établit

   $$\boxed{F(x)=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt x}-\frac1{2x}+o(1/x)}.$$

ESCP Exercice 4 [SS]

Sujet 1.04 — Analyse

Soit $a>0$. On définit $u_1=a$ et, pour tout $n\geq1$,

$$u_{n+1}=\frac{u_n^2}{\sqrt n}.$$

1. Montrer que si $u_n\geq\sqrt n$ pour tout $n\geq1$, alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
2. Montrer que, s'il existe $k\geq1$ tel que $u_k<\sqrt k$, alors $(u_n)$ tend vers $0$. En déduire que $(u_n)$ converge si et seulement si un de ses termes est strictement inférieur à $1$.
3. On pose $v_n=2^{1-n}\ln u_n$. Établir une relation entre $v_n$ et $v_{n+1}$ et justifier la convergence de $$S=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{2^{n+1}}.$$
4. Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si $a<e^S$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. L'hypothèse donne directement $u_n\geq\sqrt n\to+\infty$, donc $\boxed{u_n\to+\infty}$.
2. On a $r_{n+1}=r_n^2\sqrt{n/(n+1)}\leq r_n^2$. Si $r_k=\rho<1$, une récurrence donne $r_{k+j}\leq\rho^{2^j}$ et $0<u_{k+j}\leq\sqrt{k+j}\rho^{2^j}\to0$ par croissances comparées. Ainsi $\boxed{u_k<\sqrt k\Rightarrow u_n\to0}$. En l'absence d'un tel $k$, la question 1 s'applique. Une suite convergente est donc nécessairement de limite $0$, et possède alors un terme inférieur à $1$. Réciproquement, $u_k<1$ entraîne $u_k<\sqrt k$. Donc $\boxed{(u_n)\text{ converge}\iff\exists k,\ u_k<1}$.
3. En prenant les logarithmes, $$\boxed{v_{n+1}=v_n-\frac{\ln n}{2^{n+1}},\qquad v_n=\ln a-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\ln k}{2^{k+1}}}.$$

   Par croissances comparées, $\ln k\leq2^{k/2}$ pour $k$ assez grand ; la série positive définissant $S$ est donc dominée, à partir d'un certain rang, par une série géométrique de raison $1/\sqrt2$. Ainsi $\boxed{S\text{ existe}}$.

4. Si $\ln a<S$, alors $v_n\to\ln a-S<0$, et $\ln u_n=2^{n-1}v_n\to-\infty$ : $u_n\to0$. Si $\ln a\geq S$, $$\ln u_n=2^{n-1}\left(\ln a-S+\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{\ln k}{2^{k+1}}\right)\geq\frac12\ln n,$$

   car $\sum_{k=n}^{+\infty}2^{-k-1}=2^{-n}$. Donc $u_n\geq\sqrt n\to+\infty$, y compris au seuil $a=e^S$. Finalement $\boxed{(u_n)\text{ converge}\iff a<e^S}$.

ESCP Exercice 5 [INT]

Sujet 1.05 — Analyse

On considère

$$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}\,dt.$$

1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $F$ et sa parité.
2. On admet que $F$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $D$ et que $$F'(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2)(1+x^2t^2)}.$$

   Calculer $F'(x)$, puis $F(x)$ pour tout $x\in D$.

3. Justifier la convergence de l'intégrale suivante et calculer sa valeur : $$\int_0^{+\infty}\left(\frac{\arctan t}{t}\right)^2dt.$$

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. En $0$, $\arctan(xt)/t\to x$ ; en $+\infty$, la valeur absolue de l'intégrande est majorée par $\pi/(2t^3)$. Ainsi $\boxed{D=\mathbb R}$. L'imparité de $\arctan$ donne $\boxed{F(-x)=-F(x)}$.
2. Notons $a=|x|$ et $J(a)=\int_0^{+\infty}[(1+t^2)(1+a^2t^2)]^{-1}dt$. Pour $a>0$, le changement $t=\tan\theta$, de classe $\mathcal C^1$ et bijectif de $[0,\pi/2[$ sur $[0,+\infty[$, donne une intégrale de même nature : $$J(a)=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}\,d\theta.$$

   Si $K(a)$ désigne la même intégrale avec $\sin^2\theta$ au numérateur, alors $J+a^2K=\pi/2$. Le même changement, puis $v=at$, donne $J+K=\int_0^{+\infty}(1+a^2t^2)^{-1}dt=\pi/(2a)$. Pour $a\neq1$, la résolution de ces deux égalités donne $J=\pi/[2(1+a)]$. Pour $a=1$, $J=\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta=\pi/4$ ; pour $a=0$, $J=\pi/2$. La formule admise de dérivation entraîne donc

   $$\boxed{F'(x)=\frac\pi{2(1+|x|)}}.$$

   Comme $F(0)=0$, l'intégration sur le segment entre $0$ et $x$, puis l'imparité, donnent

   $$\boxed{F(x)=\begin{cases}\frac\pi2\ln(1+x)&x\geq0,\\-\frac\pi2\ln(1-x)&x<0.\end{cases}}$$
3. L'intégrande tend vers $1$ en $0$ et est majoré par $\pi^2/(4t^2)$ à l'infini. Sur $[\varepsilon,R]$, les fonctions $u(t)=(\arctan t)^2$ et $v(t)=-1/t$ sont de classe $\mathcal C^1$, avec $u'=2\arctan t/(1+t^2)$ et $v'=1/t^2$. L'intégration par parties donne $$\int_\varepsilon^R\frac{(\arctan t)^2}{t^2}dt=\left[-\frac{(\arctan t)^2}t\right]_\varepsilon^R+2\int_\varepsilon^R\frac{\arctan t}{t(1+t^2)}dt.$$

   Le terme de bord tend vers $0$ aux deux extrémités. Ainsi $\boxed{\int_0^{+\infty}(\arctan t/t)^2dt=2F(1)=\pi\ln2}$.

ESCP Exercice 6 [INT,FVR,EV-AL,RED]

Sujet 1.06 — Analyse

Soit $E=\mathcal C^0(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})$ et soit $\omega\in E$ strictement positive. On pose $\Omega(x)=\displaystyle\int_0^x\omega(t)\,dt$. Pour $f\in E$ et $x>0$, on définit

$$T(f)(x)=\frac1{\Omega(x)}\int_0^x f(t)\omega(t)\,dt.$$

1. Montrer que $T(f)$ se prolonge continûment en $0$. On note encore $T(f)$ ce prolongement.
2. Montrer que $T$ est un endomorphisme injectif de $E$. L'image d'une fonction bornée est-elle bornée ?
3. Soient $\lambda\neq0$ et $f\in E$ tels que $T(f)=\lambda f$. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et déterminer une équation différentielle vérifiée par $f$.
4. Déterminer toutes les valeurs propres réelles de $T$ et les sous-espaces propres associés.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. Pour $x>0$, $\Omega(x)>0$. Pour tout $\varepsilon>0$, la continuité de $f$ en $0$ donne $|f(t)-f(0)|\leq\varepsilon$ sur un segment $[0,\delta]$. Si $0<x\leq\delta$, $$|T(f)(x)-f(0)|\leq\frac1{\Omega(x)}\int_0^x\varepsilon\omega(t)dt=\varepsilon.$$

   Ainsi $\boxed{T(f)(0)=f(0)}$ définit le prolongement continu.

2. La linéarité provient de celle de l'intégrale et de l'évaluation en $0$ ; sur $]0,+\infty[$ le quotient est continu. Si $T(f)=0$, alors $\int_0^x f(t)\omega(t)dt=0$ ; le théorème fondamental de l'analyse donne $f(x)\omega(x)=0$, donc $f=0$ sur $]0,+\infty[$ puis en $0$. Ainsi $\boxed{T\text{ est un endomorphisme injectif}}$. Si $|f|\leq M$, alors $|T(f)|\leq M$ par positivité des poids : $\boxed{T(f)\text{ est bornée}}$.
3. Si $T(f)=\lambda f$ avec $\lambda\neq0$, l'égalité $\lambda\Omega f=\int_0^x f\omega$ montre que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $]0,+\infty[$. En dérivant, $$\boxed{\lambda\Omega f'=(1-\lambda)\omega f}.$$

   En posant $c=(1-\lambda)/\lambda$, la dérivée de $f\Omega^{-c}$ est nulle : $f(x)=C\Omega(x)^c$ pour $x>0$.

4. L'injectivité exclut $0$. Si $c<0$, $\Omega(x)\to0$ en $0$ et une solution non nulle diverge : elle n'appartient pas à $E$. Si $c=0$, les solutions sont les constantes, avec $\lambda=1$. Si $c>0$, $\Omega^c$ se prolonge par $0$ en $0$ et $$\int_0^x\Omega(t)^c\omega(t)dt=\frac{\Omega(x)^{c+1}}{c+1},$$

   par le théorème fondamental, d'abord sur $[\varepsilon,x]$ puis en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$. Donc $T(\Omega^c)=\Omega^c/(c+1)$. Finalement

   $$\boxed{\operatorname{Sp}(T)=]0,1],\quad E_1=\operatorname{Vect}(1),\quad E_\lambda=\operatorname{Vect}(\Omega^{1/\lambda-1})\ (0<\lambda<1)}.$$

ESCP Exercice 7 [SS]

Sujet 1.07 — Analyse

Soit $(a_n)_{n\geq1}$ une suite de réels strictement positifs. Pour $n\geq1$, on définit

$$u_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\cdots+\sqrt{a_n}}}.$$

1. Montrer que $(u_n)$ est croissante. Montrer également que remplacer chaque $a_k$ par un réel plus grand ne peut que faire augmenter $u_n$.
2. Étudier la convergence de $(u_n)$ lorsque $a_n=\beta>0$ pour tout $n$, puis lorsque $a_n=\alpha^{2^n}$, avec $\alpha>0$. Déterminer les limites dans ces deux cas.
3. Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si la suite $\bigl(2^{-n}\ln a_n\bigr)_{n\geq1}$ est majorée.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. La racine carrée est croissante : augmenter un terme interne augmente chaque radical extérieur. Le passage de $u_n$ à $u_{n+1}$ remplace le dernier $\sqrt{a_n}$ par $\sqrt{a_n+\sqrt{a_{n+1}}}>\sqrt{a_n}$. Donc $\boxed{u_{n+1}>u_n}$ et la monotonie par rapport à chaque $a_k$ est établie.
2. Si $a_k=\beta$, notons $w_n=u_n$ ; alors $w_1=\sqrt\beta$ et $w_{n+1}=\sqrt{\beta+w_n}$. Le nombre $L=(1+\sqrt{1+4\beta})/2$ vérifie $L^2=\beta+L$ et $w_1<L$. Par récurrence $w_n<L$. Le théorème de la limite monotone donne une limite positive $\ell$, et $\ell^2=\beta+\ell$ impose $$\boxed{u_n\to\frac{1+\sqrt{1+4\beta}}2}.$$

   Si $a_k=\alpha^{2^k}$, la factorisation des puissances de $\alpha$ à chaque étage donne $u_n=\alpha z_n$, où $z_1=1$ et $z_{n+1}=\sqrt{1+z_n}$. Le cas précédent, avec $\beta=1$, entraîne $\boxed{u_n\to\alpha(1+\sqrt5)/2}$.

3. Si $u_n\to L$, alors $L>0$ et $u_n\leq L$. En ne gardant que le dernier terme à l'intérieur des radicaux, $u_n\geq a_n^{1/2^n}$ ; ainsi $2^{-n}\ln a_n\leq\ln L$. Réciproquement, si $2^{-n}\ln a_n\leq C$, poser $\alpha=e^C>0$ ; alors $a_n\leq\alpha^{2^n}$ et, par la monotonie prouvée, $$u_n\leq\alpha z_n\leq\alpha\frac{1+\sqrt5}2.$$

   La suite $(u_n)$ est croissante et majorée, donc converge. Ainsi $\boxed{(u_n)\text{ converge}\iff(2^{-n}\ln a_n)\text{ est majorée}}$.

ESCP Exercice 8 [FNV,BIL]

Sujet 1.08 — Analyse

Soit $n\geq2$. Pour $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$, on pose

$$f(x)=\prod_{k=1}^n x_k^2,\qquad g(x)=\sum_{k=1}^n x_k^2.$$

La norme est la norme euclidienne.

1. Justifier que $f$ atteint un maximum sur la sphère unité et déterminer ce maximum ainsi que les points où il est atteint.
2. En déduire, pour tout $u\in\mathbb{R}^n$, une majoration de $\left|\prod_{k=1}^n u_k\right|$ en fonction de $\left\lVert u\right\rVert$.
3. Soit $a=(a_1,\ldots,a_n)\neq0$. Montrer que $g$ atteint un minimum sous la contrainte $\sum_{k=1}^n a_kx_k=1$, puis déterminer sa valeur et les points où il est atteint.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. La sphère unité est fermée bornée et $f$ y est continue ; le théorème des bornes atteintes assure un maximum. Il est positif, puisque $x_i=1/\sqrt n$ donne $f(x)=n^{-n}$. En un point de maximum, tous les $t_i=x_i^2$ sont donc strictement positifs et leur somme vaut $1$. Si $t_i\neq t_j$, les remplacer par $(t_i+t_j)/2$ préserve la somme et augmente strictement le produit, car $((t_i+t_j)/2)^2-t_it_j=(t_i-t_j)^2/4>0$. Contradiction. Tous les $t_i$ valent donc $1/n$ : $$\boxed{\max f=n^{-n},\quad x_i\in\{-1/\sqrt n,1/\sqrt n\}\text{ pour tout }i}.$$
2. Si $u=0$, le produit est nul. Sinon $x=u/\|u\|$ appartient à la sphère ; la question précédente donne $$\boxed{\left|\prod_{i=1}^nu_i\right|\leq\frac{\|u\|^n}{n^{n/2}}}.$$

   L'égalité, pour $u\neq0$, équivaut à $|u_i|=\|u\|/\sqrt n$ pour tout $i$.

3. Si $\langle a,x\rangle=1$, Cauchy-Schwarz donne $1\leq\|a\|\|x\|$, donc $g(x)\geq1/\|a\|^2$. Le vecteur $x_*=a/\|a\|^2$ satisfait la contrainte et atteint cette borne. Dans le cas d'égalité, $x$ est colinéaire à $a$ et la contrainte fixe le coefficient. Ainsi $$\boxed{\min g=\frac1{\|a\|^2},\quad\text{atteint uniquement en }x_*=\frac a{\|a\|^2}}.$$

ESCP Exercice 9 [INT,FVR]

Sujet 1.09 — Analyse

Soient $a<b$ deux réels.

1. Soient $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ continues, $g$ gardant un signe constant. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $$\int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(c)\int_a^b g(x)\,dx.$$
2. Soit maintenant $f:[a,b]\to\mathbb{R}_+$ de classe $\mathcal C^1$, décroissante, et soit $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ continue. En introduisant $G(x)=\int_a^xg(t)\,dt$, montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $$\int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(a)\int_a^c g(x)\,dx.$$

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. Supposons d'abord $g\geq0$. Si $\int_a^b g=0$, sa continuité et sa positivité imposent $g=0$, et tout $c$ convient. Sinon, en notant $m=\min f$ et $M=\max f$ sur le segment, l'intégration de $mg\leq fg\leq Mg$ donne $$m\leq\frac{\int_a^b fg}{\int_a^b g}\leq M.$$

   Par le théorème des valeurs intermédiaires, ce quotient est $f(c)$ pour un $c\in[a,b]$. Si $g\leq0$, appliquer le raisonnement à $-g$. Ainsi $\boxed{\int_a^b fg=f(c)\int_a^b g}$.

2. La fonction $G$ est de classe $\mathcal C^1$, $G'=g$ et $G(a)=0$. Les fonctions $f,G$ sont de classe $\mathcal C^1$ sur $[a,b]$, donc l'intégration par parties donne $$I=\int_a^b fG'=f(b)G(b)+\int_a^b(-f'(x))G(x)dx.$$

   Notons $m=\min G$ et $M=\max G$. Comme $f(b)\geq0$ et $-f'\geq0$, le membre de droite est compris entre $mf(a)$ et $Mf(a)$ : la somme des poids vaut $f(b)+\int_a^b(-f')=f(a)$. Si $f(a)>0$, $I/f(a)\in[m,M]$ est une valeur $G(c)$ par continuité. Si $f(a)=0$, la positivité et la décroissance donnent $f=0$ et tout $c$ convient. Ainsi

   $$\boxed{\int_a^b f(x)g(x)dx=f(a)G(c)=f(a)\int_a^c g(x)dx}.$$

ESCP Exercice 10 [FVR,SS]

Sujet 1.10 — Analyse

On cherche les fonctions $g:]-1,+\infty[\to\mathbb{R}$ vérifiant

$$g(x+1)-g(x)=-\frac1{(x+1)^2},\qquad\lim_{x\to+\infty}g(x)=0.$$

1. Montrer qu'une telle fonction est nécessairement donnée par $$g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(x+n)^2}.$$
2. Justifier que cette expression définit une fonction sur $]-1,+\infty[$ et montrer qu'elle est l'unique solution du problème. Préciser son sens de variation.
3. Déterminer un équivalent de $g$ en $+\infty$, puis sa limite en $-1$ par valeurs supérieures.

Indication 1Indication 2

Corrigé

1. En sommant les $N$ égalités, $g(x+N)-g(x)=-\sum_{k=1}^N(x+k)^{-2}$. Comme $g(x+N)\to0$, nécessairement $$\boxed{g(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{(x+k)^2}}.$$
2. Pour $x>-1$, les termes sont définis et positifs, et $(x+k)^{-2}\sim k^{-2}$ ; la série converge. La soustraction des sommes partielles, puis leur passage à la limite, donne $g(x+1)=g(x)-(x+1)^{-2}$. Pour $x>0$, la comparaison série-intégrale donne $$\frac1{x+1}\leq g(x)\leq\frac1x.$$

   Elle entraîne $g(x)\to0$ à l'infini. La fonction construite satisfait donc toutes les conditions, et la question 1 prouve son unicité. Si $y>x>-1$, tous les termes de la série pour $y$ sont plus petits ; la différence est strictement positive dès le premier terme. Ainsi $\boxed{g\text{ est strictement décroissante}}$.

3. L'encadrement précédent implique $xg(x)\to1$, d'où $\boxed{g(x)\sim1/x\ (x\to+\infty)}$. Quand $x\to-1^+$, $g(x)\geq(x+1)^{-2}\to+\infty$ : $\boxed{g(x)\to+\infty}$.

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