QSP Appro

Les questions sans préparation des oraux HEC (345 exercices, 2005 à 2025) et ESCP (271 questions, 2003 à 2025), complétées par 150 exercices inédits plutôt difficiles (vous verrez !). Chaque exercice porte son origine et a ses indications et son corrigé. Filtrez par origine, par thème (un exercice apparaît dès qu’il porte l’un des thèmes choisis), par année ou par difficulté. Certaines QSP ne sont franchement pas très intéressantes voire triviales mais elles sont effectivement tombées aux oraux, je les ai donc incluses.

Thèmes

EV-ALEspaces vectoriels et applications linéaires249DISProbabilités discrètes226FVRFonctions d'une variable réelle191SSSuites et séries155DENSProbabilités à densité128REDRéduction126CEConvergences et estimations104BILAlgèbre bilinéaire97INTIntégration86PYPython72FNVFonctions de n variables59

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766 exercices

ESCP 2003

ESCP Exercice 1 [EV-AL, RED] ★★★

Soient $A, B$ deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. On suppose que $A$ admet $n$ valeurs propres distinctes et que tout vecteur propre de $A$ est également vecteur propre de $B$. Montrer qu'il existe un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(A)=B$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

Soient $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ les valeurs propres (distinctes) de $A$ et $X_{1},\dots,X_{n}$ des vecteurs propres associés. Ils sont associés à des valeurs propres distinctes, donc forment une famille libre de $n$ vecteurs de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ : c'est une base. Par hypothèse, chaque $X_{i}$ est vecteur propre de $B$ : il existe $\mu_{i}\in\mathbb{R}$ tel que $BX_{i}=\mu_{i}X_{i}$.

Les $\lambda_{i}$ étant distincts, le polynôme d'interpolation de Lagrange

$$P=\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}\prod_{j\neq i}\frac{X-\lambda_{j}}{\lambda_{i}-\lambda_{j}}$$

vérifie $P(\lambda_{i})=\mu_{i}$ pour tout $i$. Comme $A^{k}X_{i}=\lambda_{i}^{k}X_{i}$ pour tout $k$, on a $P(A)X_{i}=P(\lambda_{i})X_{i}=\mu_{i}X_{i}=BX_{i}$. Les matrices $P(A)$ et $B$ coïncident sur une base, donc sont égales.

$$\boxed{\exists P\in\mathbb{R}[X]\ (\text{de degré}\le n-1),\quad P(A)=B}$$

ESCP Exercice 2 [DIS, FNV] ★★

Soit $X$ une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 4 et une variance non nulle. Minimiser la quantité :

$$f(a,b) = E[(X^{2}-a-bX)^{2}]$$

lorsque $(a, b)$ parcourt $\mathbb{R}^{2}$.

Indication 1

Corrigé

Posons $Y=X^{2}$ (qui admet un moment d'ordre $2$ car $X$ admet un moment d'ordre $4$), $m=E(X)$ et $c=E(Y)-a-bm$. La variable $Z_{b}=(Y-E(Y))-b(X-m)$ est centrée, donc

$$f(a,b)=E\big[(Z_{b}+c)^{2}\big]=E(Z_{b}^{2})+2cE(Z_{b})+c^{2}=V(Y-bX)+\big(E(Y)-a-bm\big)^{2}.$$

Or $V(Y-bX)=V(X)b^{2}-2\,\mathrm{Cov}(X,Y)\,b+V(Y)$. Comme $V(X)>0$, ce trinôme en $b$ est minimal en $b_{0}=\frac{\mathrm{Cov}(X,X^{2})}{V(X)}$, de minimum $V(X^{2})-\frac{\mathrm{Cov}(X,X^{2})^{2}}{V(X)}$. Ainsi pour tout $(a,b)$, $f(a,b)\ge V(X^{2})-\frac{\mathrm{Cov}(X,X^{2})^{2}}{V(X)}$, avec égalité si et seulement si $b=b_{0}$ et $a=E(X^{2})-b_{0}E(X)$.

$$\boxed{\min_{\mathbb{R}^{2}}f=V(X^{2})-\frac{\big(E(X^{3})-E(X)E(X^{2})\big)^{2}}{V(X)},\ \text{atteint en }b_{0}=\frac{E(X^{3})-E(X)E(X^{2})}{V(X)},\ a_{0}=E(X^{2})-b_{0}E(X)}$$

ESCP Exercice 3 [EV-AL] ★★

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \ge 2$. Soient $H_{1}, H_{2}$ deux hyperplans de $E$ (sous-espaces vectoriels de dimension $n-1$). Quelle est la dimension de $H_{1} \cap H_{2}$ ?

Indication 1

Corrigé

• Si $H_{1}=H_{2}$, alors $H_{1}\cap H_{2}=H_{1}$ est de dimension $n-1$.
• Si $H_{1}\neq H_{2}$ : ces deux sous-espaces ayant même dimension, aucun n'est inclus dans l'autre. Donc $H_{1}+H_{2}$ contient strictement $H_{1}$ et $n-1<\dim(H_{1}+H_{2})\le n$, d'où $H_{1}+H_{2}=E$. Par la formule de Grassmann : $$\dim(H_{1}\cap H_{2})=\dim H_{1}+\dim H_{2}-\dim(H_{1}+H_{2})=2(n-1)-n=n-2.$$

$$\boxed{\dim(H_{1}\cap H_{2})=n-1\text{ si }H_{1}=H_{2},\qquad\dim(H_{1}\cap H_{2})=n-2\text{ si }H_{1}\neq H_{2}}$$

ESCP Exercice 4 [FNV] ★★★

Parmi tous les parallélépipèdes rectangles de surface totale $S$, quel est celui (quels sont ceux) de volume maximal ?

Indication 1Indication 2

Corrigé

Notons $x,y,z>0$ les longueurs des arêtes : $S=2(xy+yz+zx)$ et $V=xyz$.

Pour $u,v,w\ge0$, un développement direct donne

$$u^{3}+v^{3}+w^{3}-3uvw=\tfrac12(u+v+w)\big[(u-v)^{2}+(v-w)^{2}+(w-u)^{2}\big]\ge0,$$

avec égalité (pour $u,v,w>0$) si et seulement si $u=v=w$. Appliquons-le à $u=(xy)^{1/3}$, $v=(yz)^{1/3}$, $w=(zx)^{1/3}$ :

$$(xyz)^{2/3}=uvw\le\frac{xy+yz+zx}{3}=\frac{S}{6},\quad\text{soit}\quad V\le\left(\frac S6\right)^{3/2},$$

avec égalité si et seulement si $xy=yz=zx$, c'est-à-dire $x=y=z$ ; alors $6x^{2}=S$. Le cube d'arête $\sqrt{S/6}$ atteint donc la borne, et c'est le seul.

$$\boxed{\text{Le seul parallélépipède de volume maximal est le cube d'arête }\sqrt{S/6},\ \text{de volume }\left(\frac S6\right)^{3/2}}$$

ESCP Exercice 5 [DENS, FVR] ★★

Soit $X$ une variable aléatoire de densité paire et continue sur $\mathbb{R}$. On suppose que $X^{2}$ suit une loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Déterminer la densité $f$.

Indication 1

Corrigé

Notons $F$ la fonction de répartition de $X$. La densité $f$ étant paire, $F(-t)=1-F(t)$ pour tout $t$. Pour $x>0$, $X$ étant à densité :

$$1-e^{-\lambda x}=P(X^{2}\le x)=P(-\sqrt x\le X\le\sqrt x)=F(\sqrt x)-F(-\sqrt x)=2F(\sqrt x)-1.$$

Donc pour $t>0$, $F(t)=1-\frac12e^{-\lambda t^{2}}$. Comme $f$ est continue, $F$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ et $F'=f$ ; en dérivant, $f(t)=\lambda te^{-\lambda t^{2}}$ pour $t>0$, puis par parité et continuité (en $0$, $f(0)=0$) :

$$\boxed{\forall t\in\mathbb{R},\quad f(t)=\lambda|t|e^{-\lambda t^{2}}}$$

On vérifie que c'est bien une densité : $\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda|t|e^{-\lambda t^{2}}dt=2\left[-\tfrac12e^{-\lambda t^{2}}\right]_{0}^{+\infty}=1$.

ESCP Exercice 6 [EV-AL, BIL] ★★

Soit $E=\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $(a,b,c,d)$ réels pour que $\varphi$ définie sur $E^{2}$ par :

$$\varphi(X,Y) = {}^tX \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} Y$$

soit un produit scalaire sur $E$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

Notons $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ et $E_{1},E_{2}$ la base canonique de $E$. L'application $\varphi$ est toujours bilinéaire.

Symétrie. $\varphi(E_{1},E_{2})=b$ et $\varphi(E_{2},E_{1})=c$, donc la symétrie impose $b=c$. Réciproquement, si $b=c$, $M$ est symétrique et $\varphi(Y,X)={}^{t}({}^{t}YMX)={}^{t}X\,{}^{t}MY=\varphi(X,Y)$.

Positivité stricte (avec $b=c$). Pour $X={}^{t}(x,y)$, $\varphi(X,X)=ax^{2}+2bxy+dy^{2}$.

• Nécessité : $\varphi(E_{1},E_{1})=a>0$, et avec $X={}^{t}(-b,a)\neq0$ : $\varphi(X,X)=ab^{2}-2ab^{2}+da^{2}=a(ad-b^{2})>0$, donc $ad-b^{2}>0$.
• Suffisance : si $a>0$ et $ad-b^{2}>0$, alors $\varphi(X,X)=a\left(x+\frac bay\right)^{2}+\frac{ad-b^{2}}{a}y^{2}\ge0$, et l'égalité impose $y=0$ puis $x=0$.

$$\boxed{\varphi\text{ est un produit scalaire}\iff b=c,\quad a>0\quad\text{et}\quad ad-b^{2}>0}$$

(ce qui équivaut aussi à : $M$ symétrique à valeurs propres strictement positives).

ESCP Exercice 7 [DIS, CE] ★★

Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires qui converge en loi vers une variable aléatoire $X$. A-t-on :

$$\lim_{n\rightarrow+\infty}E(X_{n}) = E(X) \quad ?$$

Indication 1

Corrigé

Non. Soit $X_{n}$ telle que $P(X_{n}=n)=\frac1n$ et $P(X_{n}=0)=1-\frac1n$, et $X=0$. Pour $x<0$, $F_{X_{n}}(x)=0$ ; pour $x\ge0$ et $n>x$, $F_{X_{n}}(x)=1-\frac1n\to1$. Donc $F_{X_{n}}(x)\to F_{X}(x)$ en tout réel : $(X_{n})$ converge en loi vers $X=0$. Pourtant $E(X_{n})=n\cdot\frac1n=1$ pour tout $n$, alors que $E(X)=0$.

$$\boxed{\text{Non : on peut avoir }X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X\text{ et }E(X_{n})=1\not\to E(X)=0}$$

(De même, les $X_{n}$ peuvent ne pas avoir d'espérance alors que $X$ en a une.)

ESCP Exercice 8 [EV-AL, RED] ★★★

Soit $M \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ non nulle. Peut-on avoir $M$ semblable à $2M$ ?

Indication 1Indication 2

Corrigé

Contrainte. Si $M$ est semblable à $2M$ et $\lambda$ est valeur propre de $M$, alors $2\lambda$ est valeur propre de $2M$, donc de $M$ ; par récurrence, $2^{k}\lambda$ l'est pour tout $k$. Le spectre étant fini, $\lambda=0$. En particulier $M$ n'est pas diagonalisable (sinon elle serait semblable à la matrice nulle, donc nulle).

Exemple. Soient $M=E_{1,2}=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ et $D=\mathrm{diag}(2,1,1)$, inversible. Le coefficient $(i,j)$ de $DMD^{-1}$ est $\frac{d_{i}}{d_{j}}m_{i,j}$, d'où

$$DMD^{-1}=\begin{pmatrix} 0&2&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=2M.$$ $$\boxed{\text{Oui : par exemple }M=E_{1,2}\neq0\text{ est semblable à }2M}$$

ESCP Exercice 9 [DIS] ★★

Pour allumer un feu, on dispose de $N$ allumettes. La probabilité d'allumer le feu avec une allumette donnée est $p \in ]0,1[$. Vous finissez par allumer le feu. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'allumettes restantes. Déterminer la loi et l'espérance de $X$.

Indication 1Indication 2

Corrigé

On utilise les allumettes une à une ; les essais sont indépendants. Soit $T$ le rang de la première allumette qui allume le feu : $T\hookrightarrow\mathcal{G}(p)$. Notons $q=1-p$. L'énoncé dit qu'on finit par allumer le feu : on se place sous la probabilité conditionnelle sachant $A=[T\le N]$, avec $P(A)=1-q^{N}$. Alors $X=N-T$ prend ses valeurs dans $\{0,\dots,N-1\}$ et

$$\boxed{\forall k\in\{0,\dots,N-1\},\quad P_{A}(X=k)=\frac{P(T=N-k)}{P(T\le N)}=\frac{p\,q^{N-k-1}}{1-q^{N}}}$$

Espérance. En dérivant $\sum_{j=0}^{N}x^{j}=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}$ sur $]0,1[$ :

$$\sum_{j=1}^{N}jq^{j-1}=\frac{1-(N+1)q^{N}+Nq^{N+1}}{(1-q)^{2}},\quad\text{donc}\quad E_{A}(T)=\frac{1}{1-q^{N}}\sum_{j=1}^{N}jpq^{j-1}=\frac{1-q^{N}-Npq^{N}}{p(1-q^{N})}=\frac1p-\frac{Nq^{N}}{1-q^{N}}.$$

Par linéarité, $E_{A}(X)=N-E_{A}(T)$ :

$$\boxed{E_{A}(X)=N+\frac{Nq^{N}}{1-q^{N}}-\frac1p=\frac{N}{1-(1-p)^{N}}-\frac1p}$$

Vérifications : pour $N=1$, on trouve $0$ ; pour $N=2$, $\frac{1}{1+q}=P_{A}(X=1)$.

ESCP Exercice 10 [EV-AL, RED] ★

• Existe-t-il une base de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ formée de matrices diagonalisables ?
• Existe-t-il une base de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ formée de matrices inversibles ?

Indication 1Indication 2

Corrigé

• Matrices diagonalisables. Considérons $E_{1,1}$, $E_{2,2}$, $A=E_{1,1}+E_{1,2}=\begin{pmatrix} 1&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $B=E_{1,1}+E_{2,1}=\begin{pmatrix} 1&0\\1&0\end{pmatrix}$. Les deux premières sont diagonales ; $A$ et $B$ sont triangulaires, de valeurs propres $1$ et $0$ distinctes, donc diagonalisables (deux valeurs propres distinctes en dimension $2$). Cette famille de $4$ matrices engendre $E_{1,1},E_{2,2},E_{1,2}=A-E_{1,1},E_{2,1}=B-E_{1,1}$, donc $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ : c'est une base. $$\boxed{\text{Oui : }(E_{1,1},\,E_{2,2},\,E_{1,1}+E_{1,2},\,E_{1,1}+E_{2,1})}$$
• Matrices inversibles. Soient $I_{2}$, $D=\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, $J=\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $K=\begin{pmatrix} 0&1\\-1&0\end{pmatrix}$. On a $D^{2}=J^{2}=I_{2}$ et $K^{2}=-I_{2}$, donc elles sont inversibles. Si $\alpha I_{2}+\beta D+\gamma J+\delta K=\begin{pmatrix} \alpha+\beta&\gamma+\delta\\\gamma-\delta&\alpha-\beta\end{pmatrix}=0$, alors $\alpha=\beta=\gamma=\delta=0$ : famille libre de $4=\dim\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ éléments. $$\boxed{\text{Oui : }(I_{2},D,J,K)}$$

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